[sxemi]

"Sea \( a_n \) una sucesión tal que sus subsucesiones \( a_n,a_{2n+1}\ y\ a_{3n} \) convergen. Probar que \( a_n \) es convergente."

No se me estaría ocurriendo cómo demostarlo. Lo único que sé es que una sucesión converge cuando el límite tiende a un valor perteneciente a los reales y su definición, pero no sé cómo aplicarlo.

[manooooh]

Hola

"Sea \( a_n \) una sucesión tal que sus subsucesiones \( a_n,a_{2n+1}\ y\ a_{3n} \) convergen. Probar que \( a_n \) es convergente."

¿Está bien copiado el enunciado? Porque creo que así como está, es trivialmente cierto, pues te dicen que la (sub)sucesión \( a_n \) es convergente, y no hay nada que probar.

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Supongo que sobra la primera sera que son convergentes \( \{a_{2n+1}\}  \) y \( \{a_{3n}\}  \) pero no funciona tampoco.
Toma \( a_{2n+1} = 1 = a_{3n} \) y \( a_n = 0 \) si \( n \) es par pero no divisible por \( 3 \) ejemplo \( a_4 = 0 \).
Editado
Otra cosa es que tengas estas tres sucesiones convergentes  :
 \( \{a_{2n+1}\}  \) , \( \{a_{3n}\}  \) y \( \{a_{2n}\}  \)

[Luis Fuentes]

Hola

"Sea \( a_n \) una sucesión tal que sus subsucesiones \( a_n,a_{2n+1}\ y\ a_{3n} \) convergen. Probar que \( a_n \) es convergente."

Como dice Juan Pablo, debe de ser:

"Sea \( a_n \) una sucesión tal que sus subsucesiones \( a_{\color{red}2n\color{black}},a_{2n+1}\ y\ a_{3n} \) convergen. Probar que \( a_n \) es convergente."

Entonces:

1) Prueba que si \( a_{2n} \) y \( a_{2n+1} \) son convergentes al mismo límite entonces \( a_n \) converge.

2) Si \( a_{2n}\to a \), \( a_{2n+1}\to b \) y \( a_{3n}\to c \) entonces \( a_{6n} \) es subsucesión de la primera y la tercera: por tanto \( a=c \). Y \( a_{3(2n+1)}=a_{2(3n+1)+1} \) es subsucesión de la segunda y la tercera: por tanto \( b=c \).

Saludos.