Sé que si una función es derivable es continua, mi duda es, si tengo una función definida en un intervalo y sé que para todo punto del interior del intervalo las derivadas laterales existen, creo que puedo demostrar es continua en cada punto interior sin necesidad de que ellas coincidan. Está bien la idea. Muchas gracias.
Si \( c\in (a,b) \) y existen \( f^\prime_+(c) \) y \( f^\prime_-(c) \), entonces,
\( f(x)-f(c)=\displaystyle\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot (x-c) \) si \( x\ne c \).
Tomando límites para \( x > x_0 \).
\( \displaystyle\lim_{x \to c^+ }f(x)-f(c)=f^\prime_+(c)\cdot 0=0 \) i.e. \( \displaystyle\lim_{x \to c^+ }f(x)=f(c) \) (\( f \) continua a a derecha).
Análogo razonamiento por la izquierda.
