Primero que nada, he visto varios tipos de este principio, el siguiente es el que estoy usando
La duda aquí es que estaba realizando el siguiente ejercicio, ¿Cuántos enteros entre 1 y 1155 son múltiplos de 3 pero no son de 5,7 ni 11?
Lo primero que se me ocurrió fue definir el universo que es #S=1155 pero pensándolo bien, se me ocurrió que si ese fuera el universo, no podria realizar la negación de las condiciones y encontrar lo que pide el ejercicio, asi que supuse que se podria "tomar" como universo todos los multiplos de 3 de 1155 que son 385 y luego con el principio de inclusión-exclusión excluir o eliminar los que son multiplos de 5,7 y 11, y luego de eliminarlos como implícitamente todos los elementos del universo son multiplo de 3, entonces obtendría el resultado del ejercicio, que yo llegue a que es 240 (puede que este mal).
Ahora la duda, ¿es correcto cambiar de universo como yo hice? también vi otro tipo de resolución que era básicamente que a cada condición se le agregaba que sea múltiplo de 3, por ejemplo condicion 1: ser múltiplo de 3 y de 5 (donde en mi caso solo necesite que sea multiplo de 5) y la duda es como llegaría al resultado, porque estaría usando 1155 de universo
Esto lo descubrí yo un día investigando cosas con primos; no sabía que ya estaba inventado ni mucho menos le di el nombre de "principio"; simplemente incluía y extraía múltiplos con el objeto de saber la cantidad de primos que existía en un intervalo.
Te digo cómo lo hago yo:
La parte entera de \( \dfrac{1155}{3}
\), \( {\color{blue}385}
\), es la cantidad de mútliplos de 3 entre 1 y 1155.
Ahora hay que quitar de ésos 385 los múltiplos de 5 (vamos por partes).
...
Entonces, son los múltiplos de 3 y 5, o sea de 15; hay una cantidad de \( \lfloor\dfrac{1155}{15}\rfloor={\color{blue}77}
\) que se deben excluir de la cantidad anterior.
Los que también son múltiplos de 7 (además de 3) hacen la cantidad \( \lfloor\dfrac{1155}{21}\rfloor=55
\); que también se deben excluir. Pero entre éstos hay mútliplos de 5 también, que ya están excluidos y que hacen esta cantidad \( \lfloor\dfrac{1155}{105}\rfloor=11
\); hay que volver a incluirlos y quedan \( 55-11={\color{blue}44}
\)
Exlcuimos ahora los de 11 \( \lfloor\dfrac{1155}{33}\rfloor=35
\).
incluimos en esos 35 los que hemos quitado de más, que son
\( \lfloor\dfrac{1155}{33\cdot5}\rfloor=7
\); \( \lfloor\dfrac{1155}{33\cdot7}-\dfrac{1155}{33\cdot7\cdot5}\rfloor=4
\).
quedan \( 35-11={\color{blue}24}
\)
Y ésos son todos:
385-(77+44+24)=240
Esto es lo que yo razoné en su día (pero con más múltiplos hasta quedarme sólo con los primos). Coincide con el método prácticamente en todo, pero a la hora de operar es más fácil y organizado que apliques la fórmula, evidentemente.
Saludos.
