[AndresSanchez]

Buenos días. ¿Cómo se prueba que no existe una relación de equivalencia \( R \) tal que \( S^1/R \) sea homeomorfo a \( \mathbb{R} \)?
Intuitivamente lo veo pero no sabría dar una argumentación rigurosa.

[geómetracat]

Como \( S^1 \) es compacto y la aplicación cociente \( S^1 \to S^1/R \) es continua y exhaustiva, su imagen \( S^1/R \) es compacta. Pero \( \Bbb R \) no es compacto, por lo que no puede ser homeomorfo a \( S^1/R \).