[Berner]

Sea $$G$$ el conjunto de todas bas funciones $$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ que pueden escribirse en la forma
$$
f\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
a x+b y+e \\
c x+d y+f
\end{array}\right)
$$
$$5 .$$ para ciertos $$a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$$ con $$a d-b c \neq 0$$.
Sea $$T$$ el subconjunto de $$G$$ formado por las funciones $$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ que pueden escribirse en la forma
$$
f\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
x+e \\
y+f
\end{array}\right)
$$
para ciertos $$e, f \in \mathbb{R}$$. Mostrar que $$T$$ es un subgrupo normal en $$G$$.

[Fernando Revilla]

Sea $$G$$ el conjunto de todas bas funciones $$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ que pueden escribirse en la forma
$$
f\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
a x+b y+e \\
c x+d y+f
\end{array}\right)
$$
$$5 .$$ para ciertos $$a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$$ con $$a d-b c \neq 0$$.
Sea $$T$$ el subconjunto de $$G$$ formado por las funciones $$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$$ que pueden escribirse en la forma
$$
f\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
x+e \\
y+f
\end{array}\right)
$$
para ciertos $$e, f \in \mathbb{R}$$. Mostrar que $$T$$ es un subgrupo normal en $$G$$.

Usa la caracterización 2 de https://fernandorevilla.es/2014/02/27/subgrupos-normales/. Para \( f\in G \) puedes determinar \( f^{-1} \) escribiendo

        \( f\equiv \begin{pmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{e}\\{f}\end{pmatrix} \) siendo \( A=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix} \) (invertible por hipótesis).