Hola. Estoy intentando resolver el problema de describir el anillo \( R=\frac{\mathbb{Z}[i]}{<\pi>} \) cuando \( \pi \in \mathbb{Z} \) primo con \( \pi \equiv{3 mod 4} \) (estos también son primos en \( \mathbb{Z}[i] \).
En la solución del problema, primero hace como ejemplo \( R=\frac{\mathbb{Z}[i]}{<3>} \) de la siguiente forma:
Como \( 3 \) primo en \( \mathbb{Z}[i] \), entonces es maximal, y por tanto \( R \) es cuerpo. Tomando \( a+ib \in \mathbb{Z}[i] \), su clase será el resto de la división euclídea de \( a+ib \) entre \( 3 \), la cual podemos hacer de la siguiente forma (tomamos restos positivos para que sean únicos):
\( a=3*k_1+r_1 \) con \( r_1<3 \)
\( b=3*k_2+r_2 \) con \( r_2<3 \)
Equivalente a:
\( a+ib=(k_1+ik_2)+(r_1+ir_2) \) con \( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}<3^2=9 \) (la ultima desigualdad es porque la función tamaño en los enteros de Gauss es el modulo al cuadrado).
Así, \( R=\{a+ib:0 \leq a,b<3\} \) (omito notación de clases en el cociente). Sería un cuerpo de \( 3^2=9 \) elementos.
De aquí afirma que \( \frac{\mathbb{Z}[i]}{<\pi>}=\{a+ib:0 \leq a,b<\pi\} \), un cuerpo de \( \pi^2 \) elementos, lo cual no veo claro porque si tomamos \( \pi=7 \), no basta tomar \( 0\leq a,b<7 \), pues para que se cumpla \( a^{2}+b^{2}<7^2=49 \) habría que tomar \( 0\leq a,b<5 \). Tendríamos que, en este caso, \( \frac{\mathbb{Z}[i]}{<7>}=\{a+ib:0 \leq a,b<5\} \) el cuerpo tendría \( 25 \) elementos, y no \( 49 \).
Por lo que creo que la resolución del ejercicio que he leído debe estar mal. ¿Es correcto mi razonamiento? Creo que el fallo en la resolución es el "equivale a" marcado en negrita, pues \( r_1<\pi \) y \( r_2<\pi \) no es equivalente en general a \( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}<\pi^2 \)
