[Berner]

Hola podrian decirme como puedo hacer el  ultimo punto  ya resolvi los otros solo me falta ese punto el e

1. Considere el grupo $$\mathrm{S}_{3}$$ y sea $$\mathrm{H}=\{1,(12)\}$$
a. Es $$\mathrm{H}$$ un subgrupo? Es cíclico?
b. Determine el centralizador de $$\mathrm{H}_{\text {en }} \mathrm{S}_{3}$$
c. Encuentre el normalizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$.
d. Determine las clases laterales a izquierda y a derecha de $$\mathrm{H}$$
e. ¿Es $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H}$$ un grupo? Si su respuesta es afirmativa, determínelo.

[Luis Fuentes]

Hola

Algunas indicaciones.

Hola podrian decirme como puedo hacer el  ultimo punto  ya resolvi los otros solo me falta ese punto el e

1. Considere el grupo $$\mathrm{S}_{3}$$ y sea $$\mathrm{H}=\{1,(12)\}$$
a. Es $$\mathrm{H}$$ un subgrupo? Es cíclico?

Tienes que \( (12)(12)=1 \). ¿Conclusión?.

b. Determine el centralizador de $$\mathrm{H}_{\text {en }} \mathrm{S}_{3}$$

Por definición está formado por todos los elementos que conmutan con los de \( H \). Como además de la identidad sólo está formado por \( (12) \), son las permutaciones que conmutan con \( (12) \). Calcúlalas.

c. Encuentre el normalizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$.

En este caso coincide con el centralizador, porque \( H \) sólo tiene un elemento no trivial.

d. Determine las clases laterales a izquierda y a derecha de $$\mathrm{H}$$

Opera todos los elementos del grupo (son seis) a derecha y a izquierda con \( (12) \).

e. ¿Es $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H}$$ un grupo? Si su respuesta es afirmativa, determínelo.

Para que esto ocurra las clases laterales a derecha  e izquierda deberían de coincidir.

Saludos.

[Berner]

a. Para demostrar que $$\mathrm{H}$$ es un subgrupo de $$\mathrm{S}_{3}$$, debemos verificar que cumple las tres condiciones de ser un subgrupo:
- La identidad del grupo pertenece a $$\mathrm{H}: 1 \in \mathrm{H}$$.
- La inversa de todo elemento de $$\mathrm{H}$$ también pertenece a $$\mathrm{H}$$: la inversa de 1 es 1 y la inversa de (12) es (12).
- La operación binaria es cerrada en $$\mathrm{H}$$: (12)(12)=(1) y (1)(1)=(1), ambos resultados pertenecen a H.

Por lo tanto, $$\mathrm{H}$$ es un subgrupo de $$\mathrm{S}_{3}$$.

Además, $$\mathrm{H}$$ no es cíclico ya que solo contiene dos elementos y ningún elemento puede generar al otro mediante la operación de multiplicación.

b. El centralizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el conjunto de elementos de $$\mathrm{S}_{3}$$ que conmutan con todos los elementos de $$\mathrm{H}$$. Como $$\mathrm{H}$$ solo tiene dos elementos, su centralizador debe contener todas las permutaciones que dejan fijos a 1 y a 2 (ya que cualquier permutación que intercambie estos elementos no conmutará con (12)). Por lo tanto, el centralizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el subgrupo generado por (3).

c. El normalizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el subgrupo de $$\mathrm{S}_{3}$$ que contiene a todos los elementos de $$\mathrm{S}_{3}$$ que estabilizan a $$\mathrm{H}$$ mediante conjugación. Es decir, si $$g$$ es un elemento de $$\mathrm{S}_{3}$$ y $$h$$ es un elemento de $$\mathrm{H}$$, entonces $$ghg^{-1} \in \mathrm{H}$$. Podemos encontrar el normalizador de $$\mathrm{H}$$ observando que cualquier permutación que deja fijo a 3 conmutará con (12) y viceversa. Por lo tanto, el normalizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el subgrupo generado por (12) y (13).

d. Las clases laterales a izquierda de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ son los conjuntos de la forma $$g\mathrm{H}=\{ gh|h \in \mathrm{H}\}$$ para todo $$g \in \mathrm{S}_{3}$$. Se pueden calcular todas las clases laterales multiplicando cada elemento de $$\mathrm{H}$$ por $$g$$. Como $$\mathrm{H}$$ solo tiene dos elementos, solo hay dos clases laterales a izquierda: $$1\mathrm{H}=\{1,(12)\}$$ y $$(123)\mathrm{H}=\{(123),(23)\}$$.
Las clases laterales a derecha se definen de manera similar pero multiplicando a la derecha por los elementos de $$\mathrm{S}_{3}$$. Debido a que $$\mathrm{S}_{3}$$ es un grupo simétrico, las clases laterales a izquierda y a derecha son iguales.

e. Sí, $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H}$$ es un grupo. El orden de $$\mathrm{S}_{3}$$ es 6 y el orden de $$\mathrm{H}$$ es 2, por lo que el índice de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es 3. Por el teorema de Lagrange, el orden de cualquier subgrupo debe dividir al orden del grupo. Entonces, el orden de $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H}$$ es 3. Los únicos grupos de orden 3 son el grupo cíclico $$\mathbb{Z}_{3}$$ y el grupo simétrico $$\mathrm{S}_{3}$$. Como ya sabemos que $$\mathrm{S}_{3}$$ no es cíclico, concluimos que $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H} \cong $$

[Luis Fuentes]

Hola

a. Para demostrar que $$\mathrm{H}$$ es un subgrupo de $$\mathrm{S}_{3}$$, debemos verificar que cumple las tres condiciones de ser un subgrupo:
- La identidad del grupo pertenece a $$\mathrm{H}: 1 \in \mathrm{H}$$.
- La inversa de todo elemento de $$\mathrm{H}$$ también pertenece a $$\mathrm{H}$$: la inversa de 1 es 1 y la inversa de (12) es (12).
- La operación binaria es cerrada en $$\mathrm{H}$$: (12)(12)=(1) y (1)(1)=(1), ambos resultados pertenecen a H.

Por lo tanto, $$\mathrm{H}$$ es un subgrupo de $$\mathrm{S}_{3}$$.

Además, $$\mathrm{H}$$ no es cíclico ya que solo contiene dos elementos y ningún elemento puede generar al otro mediante la operación de multiplicación.

b. El centralizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el conjunto de elementos de $$\mathrm{S}_{3}$$ que conmutan con todos los elementos de $$\mathrm{H}$$. Como $$\mathrm{H}$$ solo tiene dos elementos, su centralizador debe contener todas las permutaciones que dejan fijos a 1 y a 2 (ya que cualquier permutación que intercambie estos elementos no conmutará con (12)). Por lo tanto, el centralizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el subgrupo generado por (3).

No se que denotas por \( (3) \). Supongo que te refieres a la identidad. Pero en realidad la frase en rojo no es cierta. La propia permutación \( (12) \) conmuta consigo misma. Así que el centralizador es el propio \( H \).

c. El normalizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el subgrupo de $$\mathrm{S}_{3}$$ que contiene a todos los elementos de $$\mathrm{S}_{3}$$ que estabilizan a $$\mathrm{H}$$ mediante conjugación. Es decir, si $$g$$ es un elemento de $$\mathrm{S}_{3}$$ y $$h$$ es un elemento de $$\mathrm{H}$$, entonces $$ghg^{-1} \in \mathrm{H}$$. Podemos encontrar el normalizador de $$\mathrm{H}$$ observando que cualquier permutación que deja fijo a 3 conmutará con (12) y viceversa. Por lo tanto, el normalizador de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es el subgrupo generado por (12) y (13).

Está mal. No es cierto que \( (13)(12)(13)\in H \). Como te dije antes en este caso el normalizador coincide con el centralizador que es el propio \( H \).

d. Las clases laterales a izquierda de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ son los conjuntos de la forma $$g\mathrm{H}=\{ gh|h \in \mathrm{H}\}$$ para todo $$g \in \mathrm{S}_{3}$$. Se pueden calcular todas las clases laterales multiplicando cada elemento de $$\mathrm{H}$$ por $$g$$. Como $$\mathrm{H}$$ solo tiene dos elementos, solo hay dos clases laterales a izquierda: $$1\mathrm{H}=\{1,(12)\}$$ y $$(123)\mathrm{H}=\{(123),(23)\}$$.
Las clases laterales a derecha se definen de manera similar pero multiplicando a la derecha por los elementos de $$\mathrm{S}_{3}$$. Debido a que $$\mathrm{S}_{3}$$ es un grupo simétrico, las clases laterales a izquierda y a derecha son iguales.

No. Como \( H \) tiene dos elementos, cada clase lateral tiene dos elementos. Como en total hay \( 6 \) elementos, habrá \( 6/2=3 \) clases laterales.

Y la frase en azul no tiene sentido. Las clases coinciden con toda seguridad si el grupo es conmutativo; pero \( \Bbb S_3 \) no es conmutativo.

e. Sí, $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H}$$ es un grupo. El orden de $$\mathrm{S}_{3}$$ es 6 y el orden de $$\mathrm{H}$$ es 2, por lo que el índice de $$\mathrm{H}$$ en $$\mathrm{S}_{3}$$ es 3. Por el teorema de Lagrange, el orden de cualquier subgrupo debe dividir al orden del grupo. Entonces, el orden de $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H}$$ es 3. Los únicos grupos de orden 3 son el grupo cíclico $$\mathbb{Z}_{3}$$ y el grupo simétrico $$\mathrm{S}_{3}$$. Como ya sabemos que $$\mathrm{S}_{3}$$ no es cíclico, concluimos que $$\mathrm{S}_{3} / \mathrm{H} \cong $$

No. El cociente no es un subgrupo, porque las clases laterales no coinciden. O equivalentemente porque el subgrupo \( H \) no es normal, porque su normalizador no es todo el grupo \( S_3 \).

Saludos.