[Berner]

Sea $$H=\{\alpha \in S n \mid \alpha(n)=n\}$$. Pruebe que $$H$$ es un subgrupo de $$S_n$$ y que $$|H|=(n-1) !$$

Hice esto pero la verdad esta mal

[Juan Pablo Sancho]

Para la próxima , el texto y las fórmulas en latex no mediante imagenes, las imagenes se reservan para descripción del ejercicio.
La indentidad pertenece a \( H \) por que para todo \( k  \in \{1,2,3, \cdots , n \}  \) tenemos \( I(k) = k \) , en particular \( I(n) =  n \), luego \( H \neq \emptyset \).
Entonces para \( \alpha , \beta \in H  \) tenemos que \( \alpha(\beta^{-1}(n)) = \alpha(n) = n  \) luego \( \alpha(\beta^{-1}) \in H \) , tenemos que \( H \) subgrupo.
Como fijamos un elemento, el tamaño de \( H \) es \( (n-1)! \)

[Berner]

Hola esta bien esto:

El conjunto $$H = \{\alpha \in S_n \mid \alpha(n) = n\}$$ consiste en las permutaciones en $$S_n$$ que mantienen fijo el elemento $$n$$. Para demostrar que $$H$$ es un subgrupo de $$S_n$$, necesitamos verificar los siguientes puntos:

1. **Cerradura bajo la operación**: Tomemos dos elementos $$\alpha, \beta \in H$$. Dado que tanto $$\alpha$$ como $$\beta$$ mantienen fijo el elemento $$n$$, la composición $$\alpha\beta$$ también debe mantenerlo fijo. Por lo tanto, $$(\alpha\beta)(n) = \alpha(\beta(n)) = \alpha(n) = n$$. Esto demuestra la cerradura bajo la operación.

2. **Existencia del elemento neutro**: El elemento neutro en $$S_n$$ es la identidad, denotada por $$e$$. Claramente, $$e(n) = n$$, lo que implica que $$e \in H$$ y cumple con la condición requerida.

3. **Existencia del inverso**: Para cada elemento $$\alpha \in H$$, necesitamos mostrar que su inversa $$\alpha^{-1}$$ también está en $$H$$. Dado que $$\alpha(n) = n$$, esto significa que $$\alpha^{-1}(n) = n$$. Entonces, $$\alpha^{-1}$$ también mantiene fijo el elemento $$n$$, lo que implica que $$\alpha^{-1} \in H$$.

Como hemos verificado los tres criterios para ser un subgrupo, podemos concluir que $$H$$ es un subgrupo de $$S_n$$.

Ahora, para determinar el tamaño de $$H$$, notemos que cada elemento en $$H$$ puede ser cualquier permutación de los elementos $$\{1, 2, \ldots, n-1\}$$ sin restricciones adicionales. Hay $$(n-1)!$$ formas posibles de permutar estos elementos en $$S_{n-1}$$. Por lo tanto, el tamaño de $$H$$ es igual a $$(n-1)!$$.

[Luis Fuentes]

Hola

El conjunto $$H = \{\alpha \in S_n \mid \alpha(n) = n\}$$ consiste en las permutaciones en $$S_n$$ que mantienen fijo el elemento $$n$$. Para demostrar que $$H$$ es un subgrupo de $$S_n$$, necesitamos verificar los siguientes puntos:

1. **Cerradura bajo la operación**: Tomemos dos elementos $$\alpha, \beta \in H$$. Dado que tanto $$\alpha$$ como $$\beta$$ mantienen fijo el elemento $$n$$, la composición $$\alpha\beta$$ también debe mantenerlo fijo. Por lo tanto, $$(\alpha\beta)(n) = \alpha(\beta(n)) = \alpha(n) = n$$. Esto demuestra la cerradura bajo la operación.

2. **Existencia del elemento neutro**: El elemento neutro en $$S_n$$ es la identidad, denotada por $$e$$. Claramente, $$e(n) = n$$, lo que implica que $$e \in H$$ y cumple con la condición requerida.

3. **Existencia del inverso**: Para cada elemento $$\alpha \in H$$, necesitamos mostrar que su inversa $$\alpha^{-1}$$ también está en $$H$$. Dado que $$\alpha(n) = n$$, esto significa que $$\alpha^{-1}(n) = n$$. Entonces, $$\alpha^{-1}$$ también mantiene fijo el elemento $$n$$, lo que implica que $$\alpha^{-1} \in H$$.

Como hemos verificado los tres criterios para ser un subgrupo, podemos concluir que $$H$$ es un subgrupo de $$S_n$$.

Ahora, para determinar el tamaño de $$H$$, notemos que cada elemento en $$H$$ puede ser cualquier permutación de los elementos $$\{1, 2, \ldots, n-1\}$$ sin restricciones adicionales. Hay $$(n-1)!$$ formas posibles de permutar estos elementos en $$S_{n-1}$$. Por lo tanto, el tamaño de $$H$$ es igual a $$(n-1)!$$.

Está bien.

Saludos.