Hola, aquí hay que llevar cierto cuidado si la medida del espacio dominio no es completa.
Supongamos pues en primer lugar que \( f,g: X \rightarrow Y \) donde \( (X, \mathcal{A}, \mu), (Y, \mathcal{B}, \lambda) \) son espacios de medida, siendo \( \mu \) completa.
Entonces, si \( f=g \) en casi todo punto, tenemos que existe un conjunto de medida nula \( E \in \mathcal{A} \) tal que \( f(x)=g(x) \) para cada \( x \in E^c \).
Sea pues \( B \in \mathcal{B} \), y observa que lo que queremos ver es que \( g^{-1}(B) \in \mathcal{A} \). Ahora, observa que
\( g^{-1}(B)=\{x \in X: g(x) \in B\} = \{x \in E^c: g(x) \in B\} \cup \{x \in E: g(x) \in B\} = \{x \in E^c: f(x) \in B\} \cup \{x \in E: g(x) \in B\} = \left( f^{-1}(B) \cap E^c \right) \cup \{x \in E: g(x) \in B\} \)
Entonces, por ser \( f^{-1}(B) \) y \( E^c \) medibles (el primer conjunto lo es porque \( f \) es medible) su intersección también lo es. Además, como \( \{x \in E: g(x) \in B\} \subset E \), \( \mu(E)=0 \) y la medida es completa, tenemos que \( \{x \in E: g(x) \in B\} \) es también medible en \( X \). Con todo, obtenemos que
\( \left( f^{-1}(B) \cap E^c \right) \cup \{x \in E: g(x) \in B\} \in \mathcal{A} \)
luego por lo anterior, que \( g^{-1}(B) \in \mathcal{A} \) tal como queríamos ver.
Si el espacio de medida \( X \) no fuera completo, entonces esto no tiene porque ser cierto, aunque ahora mismo no se me ocurre un ejemplo sencillo sobre ello. Si se me ocurre edito el mensaje poniéndolo.
EDITADO: No consigo encontrar ningún ejemplo concreto, pero si podemos demostrar lo siguiente:
Sea \( (X, \mathcal{A}, \mu), (Y, \mathcal{B}, \lambda) \) espacios de medida tales que \( \mathcal{B} \) no sea la \( \sigma \)-álgebra trivial, entonces son equivalentes:- \( \mu \) es una medida completa.
- Para cualesquiera funciones \( f, g: X \rightarrow Y \) tales que \( f \) es medible y \( f=g \) en casi todo punto, se cumple que \( g \) es medible.
Que
1 implica
2 es lo que hemos probado antes, luego veamos que
2 implica
1.
Sea pues \( E \in \mathcal{A} \) tal que \( \mu(E)=0 \) y \( A \subset E \), debemos ver que \( A \in \mathcal{A} \).
Consideremos ahora \( B \in \mathcal{B} \) no vacío y distinto de \( Y \), y dos puntos cualesquiera distintos \( a, b \in Y \) tales que \( a \in B \) y \( b \not \in B \). Definamos \( f:X \rightarrow Y \) tal que \( f(x)=a \) si \( x \in E \) y \( f(x)=b \) si \( x \in E^c \), y análogamente definimos \( g \) pero considerando \( A \) en lugar de \( E \).
Es fácil ver entonces que \( f \) y \( g \) son medibles si, y solo si, \( E \) y \( A \) son conjuntos medibles respectivamente.
Así, \( f \) es medible porque \( E \) es un conjunto medible y \( f=g \) en casi todo punto porque \( f(x)=g(x)=b \) para cada \( x \in E^c \). Por tanto, por
2. se tiene que \( g \) es medible y así, \( A \) debe ser un conjunto medible.
Así, aunque no sepa darte un ejemplo concreto, lo anterior nos muestra que deben existir estos ejemplos.
Un saludo.
