Hola a todos, pongo el tema en el subforo de análisis porque no se muy bien donde enmarcarlo dentro de las clasificaciones del foro
Os pongo en contexto, porque la cuestión lleva persiguiéndome ya por más de dos años...
Hace un par de años realicé mi trabajo de fin de grado sobre el problema de Basilea y la demostración de Apéry de la irracionalidad de \( \zeta(3) \).
La demostración de Apéry es muy técnica e intenté en mi trabajo completar todos los detalles que en los pocos artículos que hay sobre la misma se dejan como "meras comprobaciones" o "resultados que se deducen fácilmente", lo cual todos sabemos que significa realmente "si eres experto en el tema tras una serie de cálculos y comprobaciones muy larga que no me apetece poner, se llega a lo deseado". De hecho pregunté por
aquí las dudas que tuve y aunque no edite la resolución de las útlimas dudas, si conseguí la tarea de rellenar todos los detalles de la demostración (
aquí está el trabajo por si alguien tiene curiosidad).
Todos los detalles salvo uno, pues no conseguí demostrar que una sucesión importante en el teorema (lo que se expone al final de la página 40 del trabajo) cumple cierta relación asintótica. Realmente, si tenía dos pruebas de ello que me proporcionaron un par de profesores, pero utilizaban muchos resultados y funciones especiales que se escapaban (y escapan) a mis conocimientos.
Esta espinita lleva persiguiéndome ya dos años, pero creo que hoy, por total casualidad, he encontrado la solución aunque no estoy seguro de ello (porque como digo mis conocimientos sobre análisis asintótico son muy escasos) y cierto detalle no consigo verlo, y es por eso por lo que hago este post.
La sucesión que comentaba puede expresarse de la siguiente forma
\( \displaystyle b_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \binom{n+k}{k}^2 \)
y se puede ver que satisface la ecuación en diferencias
\( (n + 2)^3 u_{n+2} − (34 n^3 + 153 n^2 + 231n + 117) u_{n + 1} + (n + 1)^3 u_n = 0 \)
Y, lo que yo buscaba es ver que existe una constante \( A>0 \) tal que
\( b_n \sim A \alpha^n n^{-3/2} \)
donde \( \alpha=17+12\sqrt{2} \) es la mayor raíz del polinomio característico de la recurrencia tras dividirla por \( (n+2)^3 \).
Pues bien, hoy por casualidad he encontrado un resultado de Birkhoff y Adams en el libro
An introduction to difference equations de S. Elaydi (tercera edición, páginas 377-379) que permite establecer que la ecuación en diferencias anterior tiene dos soluciones linealmente independientes \( u_1, u_2 \) que tienen la siguientes expansiones asintóticas
\( \displaystyle u_1(n) \sim \sum_{k=0}^\infty c_{1,k} \dfrac{\alpha^n n^{-3/2}}{n^k} \)
\( \displaystyle u_2(n) \sim \sum_{k=0}^\infty c_{2,k} \dfrac{\beta^n n^{-3/2}}{n^k} \)
donde \( \beta \) es la otra raíz del polinomio característico de la recurrencia y \( c_{1,0}=c_{2,0}=1 \).
Adjunto al mensaje las páginas del libro donde se establece todo esto y aquí empiezan mis dudas en si, que probablemente sean tonterías, pero como digo se muy poco sobre análisis asintótico.
Como no se dan más detalles en el libro (ni en los artículos que menciona), supongo que se utiliza la
definición estándar de expansión asintótica, donde las escalas asíntóticas supongo que son \( \phi_k(n)=\frac{\alpha^n n^{-3/2}}{n^k} \) y \( \psi_k(n)=\frac{\beta^n n^{-3/2}}{n^k} \). Por tanto, se tiene entonces que por esta definición
\( u_1(n)-\alpha^n n^{-3/2} = o\left( \alpha^n n^{-3/2} \right) \)
\( u_2(n)-\beta^n n^{-3/2} = o\left( \beta^n n^{-3/2} \right) \)
y así,
\( \dfrac{u_1(n)}{\alpha^n n^{-3/2}} -1 \to 0 \)
\( \dfrac{u_2(n)}{\beta^n n^{-3/2}} -1 \to 0 \)
con lo que \( u_1 \sim \alpha^n n^{-3/2} \) y \( u_2 \sim \beta^n n^{-3/2} \).
Ahora, como \( u_1, u_2 \) son soluciones linealmente independientes, tenemos que existen \( c_1, c_2 \in \mathbb{R} \) tales que
\( b_n=c_1 u_1+ c_2 u_2 \)
Además, como \( 0<\beta <1 \) tenemos que \( \beta^n n^{-3/2} \to 0 \) y como \( u_2 \sim \beta^n n^{-3/2} \), entonces \( u_2 \to 0 \), y
según el libro, esto implica que \( u_2=0 \).
Suponiendo ahora que \( c_2=0 \), tenemos que \( b_n=c_1u_1 \) y he visto primero que entonces \( c_1>0 \).
Como \( \alpha>1 \) tenemos que \( \alpha^n n^{-3/2} \to +\infty \), y al ser \( u_1 \sim \alpha^n n^{-3/2} \), tenemos que \( u_1 \to \infty \), luego \( u_1(n) >0 \) a partir de cierto \( n_0 \in \mathbb{N} \). Como además \( b_n \) es también positivo, \( c_1=b_{n_0}/u_1(n_0) >0 \).
Por último, tomando \( A=c_1 \), como \( b_n=Au_1 \) y \( u_1 \sim \alpha^n n^{-3/2} \) se tiene que
\( \dfrac{b_n}{A \alpha^n n^{-3/2}} = \dfrac{u_1(n)}{\alpha^n n^{-3/2}} \to 1 \)
Es decir, \( b_n \sim A \alpha^n n^{-3/2} \) tal como quería demostrar.
Mis dudas son entonces:
Primera duda: ¿Por qué de conocer que \( u_2 \to 0 \) podemos concluir que \( c_2=0 \)?
Segunda duda: ¿Es todo lo demás que he puesto correcto?
Como siempre, muchas gracias por las respuestas y un saludo enorme a todos.
