[Quema]

\( log(n!)=log(n(n-1)...1)=logn+log(n-1)+...+log(1) \) como \( log(n)=log(n-1)=...=log(1)=O(logn) \) entonces \( log(n!)=O(log n) \)

¿Què estoy haciendo mal?

[Juan Pablo Sancho]

Pero \( \log(n) \) no es igual que \( \log(1) \) , no crecen a la misma velocidad , uno se va a infinito y el otro es constante.
Puedes usar que \( n! = (\dfrac{n}{e})^n \cdot \sqrt{2 \cdot \pi \cdot n} \cdot \phi(n)  \) con \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \phi(n) = 1 \).

También puedes hacer.
\( \log(n!) < \log(n^n) = n \cdot \log(n)  \)

Sea \( k \) fijo.
\( \log(n!) > \log(n-k)^{n-k} =(n-k) \cdot \log(n-k) =  n \cdot \log(n) \cdot \dfrac{n-k}{n} \cdot \dfrac{\log(n-k)}{\log(n)}  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Pero \( \log(n) \) no es igual que \( \log(1) \) , no crecen a la misma velocidad , uno se va a infinito y el otro es constante.

Respecto a esto, fíjate que una cosa es que \( \log(n) \) crezca a la misma velocidad que \( \log(n-k) \) para \( k \) CONSTANTE y otra cosa es aplicar eso para \( k=n-1 \) que es variable (\( n \) es precisamente la variable respecto a la cuál medimos la velocidad de crecimiento).

Saludos.

[Quema]

En relaidad quise poner que \( log(n-k)\leq{}O(ln n) \) con \(  \)k=0,...,n-1. Estoy aplicando la regla del orden de crecimiento en la suma de las funciones y es igual al de la de mayor orden, pero en este caso parece no ser ese el razonamiento, y no me doy cuenta el por qué.

[geómetracat]

Es cierto que en la igualdad
\( \log (n!)=\log n+\log (n-1)+...+\log (1) \) cada sumando es \( O(\log n) \). Pero lo que no ha tenido en cuenta es que hay \( n \) sumandos, por lo que lo que se obtiene es que \( \log (n!) = O(n\log n)=O(log (n^n)) \), que es cierto.
Lo que haces estaría bien si el número de sumandos fuera constante, pero en este caso no lo es porque depende de \( n \).