[sxemi]

"Encuentre el coeficiente de \( x^{2016} \) en la función generatriz \( \displaystyle\frac{1}{(1+5x)^2} \). Opciones:
A) \( 5^{2016} \);
B) \( 2016\times{5^{2016}} \);
C) \( 2016\times{5^{2017}} \);
D) \( 2017\times{5^{2016}} \);
E) \( 2016\times{(-5)^{2017}} \)"

Buenas, llevo dándole vueltas un rato al ejercicio y no logro sacarlo.

[franma]

Buenas sxemi

Recuerda que \( 1+x+x^2+x^3+\cdots = \dfrac{1}{1-x} \) luego derivando ambos lados de la igualdad tenemos que:

\( 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots = \dfrac{1}{(1-x)^2} \)

Escribiéndolo de una forma mas compacta \( \dfrac{1}{(1-x)^2} = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{nx^{n-1}} \).

Ahora que tenemos esto observa que llamando \( u=-5x \) tenemos:

\( \displaystyle\frac{1}{(1-u)^2}=\sum_{n=1}^\infty{nu^{n-1}}=\sum_{n=1}^\infty{n(-5x)^{n-1}}=\sum_{n=1}^\infty{n(-5)^{n-1}x^{n-1}} \)

¿Puedes concluir?

Saludos,
Franco.