[JoaquiNigro]

Hola! Tengo una duda de como resolver el siguiente limite ya que nunca antes había analizado uno que contenga una integral dentro. Podrían ayudarme y decirme como encarar este tipo de ejercicios?. Adjunto una imagen de la ecuación ya que no termino de entender como es la escritura de las ecuaciones

\( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x-\displaystyle\int_0^x{e^{t^{2} } } \, dt }{x^{3} }  = -\dfrac{1}{3} \)

Saludos,
Joaquin

 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola! Tengo una duda de como resolver el siguiente limite ya que nunca antes había analizado uno que contenga una integral dentro. Podrían ayudarme y decirme como encarar este tipo de ejercicios?. Adjunto una imagen de la ecuación ya que no termino de entender como es la escritura de las ecuaciones

\( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x-\displaystyle\int_0^x{e^{t^{2} } } \, dt }{x^{3} }  = -\dfrac{1}{3} \)

Dado que es una indeterminación \( 0/0 \) puedes aplicar L'Hopital. Te queda:

 \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-e^{x^2} }{3x^{2} } \)

Puedes continuar aplicando L'Hopital o hacer \( x^2=t \) y calcular:

 \( \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{1-e^{t} }{3t } \)

También podrías usar la serie de la exponencial.

 En fin... ¿sabes terminar?.

Saludos.

[JoaquiNigro]

Hola

Hola! Tengo una duda de como resolver el siguiente limite ya que nunca antes había analizado uno que contenga una integral dentro. Podrían ayudarme y decirme como encarar este tipo de ejercicios?. Adjunto una imagen de la ecuación ya que no termino de entender como es la escritura de las ecuaciones

\( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x-\displaystyle\int_0^x{e^{t^{2} } } \, dt }{x^{3} }  = -\dfrac{1}{3} \)

Dado que es una indeterminación \( 0/0 \) puedes aplicar L'Hopital. Te queda:

 \( \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-e^{x^2} }{3x^{2} } \)

Puedes continuar aplicando L'Hopital o hacer \( x^2=t \) y calcular:

 \( \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{1-e^{t} }{3t } \)

También podrías usar la serie de la exponencial.

 En fin... ¿sabes terminar?.

Saludos.

Hola Luis, gracias por la ayuda!! Te hago una consulta. Como fue que resolviste la integral? Porque ahí es donde radica mi duda. Como se supone que tengo que resolver dicho limite con una integral. A mi también, debido a la indeterminación 0/0, se me ocurrió resolver el problema mediante L'Hopital pero no sabia como aplicarlo habiendo una integral de por medio.

Espero tu respuesta,
Joaquin

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, gracias por la ayuda!! Te hago una consulta. Como fue que resolviste la integral? Porque ahí es donde radica mi duda. Como se supone que tengo que resolver dicho limite con una integral. A mi también, debido a la indeterminación 0/0, se me ocurrió resolver el problema mediante L'Hopital pero no sabia como aplicarlo habiendo una integral de por medio.

 No hay que resolver la integral. Por el Teorema fundamental del cálculo integral si:

\( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt \)

 con \( f(t) \) continua, entonces \( F'(x)=f(x) \).

Saludos.