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¡Hola! Soy nueva en el foro, me llamo Marina y soy matemática. Estoy estudiando oposiciones para profesora de secundaria y se me ha atravesado este problema: "Encontrar un número “abcd” de 4 cifras en base 12, tal que es cuadrado perfecto y además los números “ab” y “cd” son consecuentes en base 12."
Entiendo que 9899(12) >= abcd >= 1011(12), ¿cierto?
En la solución que circula por internet hablan de "10000(12) <= abcd < 100000(12) y creo que lo hacen para que al pasarlo a sistema decimal y hacer la raíz obtengamos un número entero, pero sigue sin cuadrarme. ¿Podéis ayudarme?
Simplemente ahí está imponiendo que sea un número cuatro cifras en base \( 12 \), pero sobra un cero, es decir sería:
\( 12^3=1000_{12)}\leq abcd_{12)}< 10000_{12)}=12^4 \)
De ahí tienes que si el número es \( n^2 \) entonces:
\( 12^3\leq n^2< 12^4\quad \Rightarrow{}\quad \sqrt{12^3}\leq n< 12^2\quad \Rightarrow{}\quad 42\leq n< 144 \) (*)
Tu cota tampoco está mal, porque utilizas además que los pares de cifras primeros y últimos corresponden a números consecutivos. No hay una diferencia muy grande entre usar una u otra.
Ahora llamas \( x=ab_{12)} \) y entonces \( cd_{12)}=an_{12)}=x+1 \) y:
\( abcd_{12)}=12^2x+x+1=145x+1 \)
Tiene que cumplirse:
\( 145x+1=n^2\quad \Leftrightarrow{}\quad 145x=n^2-1\quad \Leftrightarrow{}\quad 5\cdot 29\cdot x=(n-1)(n+1) \)
Nota que \( (n-1) \) y \( (n+1) \) sólo pueden tener al dos como factor primo común, porque difieren en dos unidades y cualquier divisor común lo es de su diferencia.
- Si \( 5\cdot 29=145 \) divide a \( n+1 \) o a \( n-1 \) entonces \( n\geq 144 \) y nos salimos de la cota (*): no puede ser.
- Entonces o \( 5 \) y \( 29 \) han de ser divisores de \( n-1 \) y \( n+1 \) :
Posibilidad 1:
\( n-1=5a \)
\( n+1=29b \)
Queda la
ecuación diofántica:
\( 29b-5a=2 \)
Resolviéndola obtenemos \( (b,a)=(-2,-12)+k(5,29) \) con \( k \) en los enteros. Tiene que cumplirse (*):
\( 29b-1=n<144\quad \Rightarrow{}\quad b<5 \)
Por tanto \( 1\leq b=-2+5k<5 \) y la única posibilidad entera es \( k=1 \). Queda \( (b,a)=(3,17) \). De donde:
\( n=5a+1=86 \)
y así \( n^2=86^2=4344_{12)} \).
Posibilidad 2:
\( n+1=5a \)
\( n-1=29b \)
Queda la ecuación diofántica:
\( 5a-29b=2 \)
Resolviéndola obtenemos \( (a,b)=(12,2)+k(29,5) \) con \( k \) en los enteros. Tiene que cumplirse (*):
\( 42<29b+1=n<144\quad \Rightarrow{}\quad 1< b<5 \)
Por tanto \( 1< b=2+5k<5 \) y la única posibilidad es \( k=0 \). Queda \( (a,b)=(12,2) \). De donde:
\( n=5a-1=59 \)
y así \( n^2=50^2=2021_{12)} \).
Saludos.
P.D. Todavía el enunciado podría dejar abierto que fuesen consecutivos pero al revés: \( ab_{12)}=cd_{12)}+1 \). En ese caso habría más soluciones que se obtendrían de manera parecida:
\( a2a1_{12)}=133^2 \)
\( 9594_{12)}=128^2 \)
