Hola
Hola, no se si ya había preguntado esto aca pero no encuentro mi post, asi que probablemente no lo había echo.
Me interesa lo que esta recuadrado en rojo, no lo llego a entender. En el punto A) Esa es la solución particular es SI \( r^{n} \) es solución de la homogénea y en el punto B) y C) son que NO son soluciones de la homogénea?
Nunca he querido tratar con relaciones de recurrencia en general, siempre trabajé con problemas aplicados. Así que no puedo contestarte al pie de lo que preguntas.
Pero la idea de fondo que te quiere transmitir el libro es que cuando propones una solución particular, y al reemplazarla en la relación de recurrencia te encuentras con un absurdo, propones la misma solución particular pero multiplicada por \( n \). Si también falla, la vuelves a multiplicar por \( n \). Y así hasta que se vaya el absurdo, para que puedas calcular las constantes cuando propusiste la solución particular.
Esto se verá ilustrado con el siguiente ejemplo:
Y otra pregunta, en general cuando decimos que es solución de la homogénea es que el \( r^{n} \) de la homogénea coincide con el \( r^{n} \) de la relación no homogénea, que pasa si la solución homogénea son dos raíces diferentes y una coincide y otra no?. Gracias
Si entendí bien, solo debes multiplicar la que coincide por \( n \), no toda la particular.
Por ejemplo, debemos resolver \( a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_n=24\bullet3^n+12\bullet5^n \) con \( a_0=1\land a_1=11 \).
La homogénea asociada es \( a_n^h=A\bullet(-1)^n+B\bullet3^n \).
Como \( f(n)=24\bullet3^n+12\bullet5^n \), proponemos como solución particular: \( a_n^p=C\bullet3^n+D\bullet5^n \). Reemplazando:
\( (C\bullet3^{n+2}+D\bullet5^{n+2})-2(C\bullet3^{n+1}+D\bullet5^{n+1})-3(C\bullet3^n+D\bullet5^n)=24\bullet3^n+12\bullet5^n \)
Operando un poco llegamos a que:
\( 3^n(9C-6C-3C)+5^n(25D-10D-3D)=24\bullet3^n+12\bullet5^n \). Tenemos un absurdo (que proviene de igualar los términos de \( 3^n \)).
Así que probamos multiplicando por \( n \)
solo el término de \( 3^n \): \( a_n^p=Cn\bullet3^n+D\bullet5^n \) y reemplazamos nuevamente. Los cálculos son bastante pesados, pero agrupando termina quedando:
\( n3^n(9C-6C-3C)+3^n(18C-6C)+5^n(25D-10D-3D)=24\bullet3^n+12\bullet5^n \).
Observa 3 cosas:
1) Es coherente que el término de \( n3^n \) se anule pues originalmente la particular no tenía ningún término así.
2) Ya no tenemos un absurdo en el término de \( 3^n \). No hace faltar seguir multiplicando por \( n \).
3) El término de \( 5^n \) quedó igual que antes. Esto nos da la pauta que los cálculos no fallan "por ahora".
Igualando términos, vemos que \( C=2 \) y \( D=1 \), luego \( a_n^p=2n\bullet3^n+5^n \) por lo que \( a_n=A\bullet(-1)^n+B\bullet3^n+2n\bullet3^n+5^n \).
Al imponer las condiciones iniciales, finalmente obtenemos \( A=B=0 \) por tanto \( a_n=2n\bullet3^n+5^n \).
Espero que esto te aclare un poco las dudas. Sino espera una mejor respuesta.
Saludos
