Este tema es una versión de este otro:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=120821Pero aquí quiero abordarlo más extensamente a raíz de haber estado leyendo algo de mecánica clásica y darme algunos quebraderos de cabeza el concepto de "fuerza normal". Tenemos este esquema:
Suponemos que el coche no acelera, simplemente que en el cenit de la loma lleva una velocidad \( v_0 \) desconocida. Además supongamos que la loma es un semicírculo, entonces utilizando la segunda ley de Newton podemos plantear lo siguiente:
\( \displaystyle{
\mathbf{F}=\mathbf{F}^{(r)}+m\mathbf{g}\tag1
} \)
siendo \( \mathbf{F}^{(r)} \) las fuerzas de restricción que actúan sobre el auto para que, al menos durante un tiempo, esté sujeto a la superficie del semicírculo, es decir, para que \( \mathbf{r}(t)=R\cos \phi \,\mathbf{i}+R \operatorname{sen}\phi \,\mathbf{j} \). Si \( \phi \) lo contamos desde la vertical entonces (1) puede re-escribirse como
\( \displaystyle{
m^{-1}\mathbf{F}^{(r)}=(g\cos \phi -R\dot \phi ^2)\mathbf{\hat r}+(R\ddot \phi -g \operatorname{sen}\phi )\boldsymbol{\hat \phi }\tag2
} \)
Ahora, asumiendo que \( \mathbf{F}^{(r)} \) es normal a la superficie (que creo que es una consecuencia de asumir el principio de trabajo virtual) tenemos que
\( \displaystyle{
R\ddot \phi =g \operatorname{sen}\phi \implies \dot \phi ^2=\frac{2g}{R}(1-\cos \phi )+\frac{v_0^2}{R^2}\tag3
} \)
de donde se sigue finalmente que
\( \displaystyle{
\mathbf{F}^{(r)}=\max\left\{3g\cos \phi -2g-\frac{v_0^2}{R},0\right\}m \mathbf{\hat r}\tag4
} \)
De ahí se sigue que el ángulo a partir del cual el auto sigue una trayectoria balística (es decir, cuando \( \mathbf{F}^{(r)}=0 \)) viene dado por
\( \displaystyle{
\cos \phi =\frac{2}{3}+\frac{v_0^2}{3g R}\tag5
} \)
Y en particular si \( v_0=36\,\mathrm{km/h} \) y \( R=50\,\mathrm m \), como en el ejercicio original, entonces el auto despega de la calzada a partir de \( \phi \approx 43^\circ \) y \( \mathbf{F}^{(r)}(0)\approx 12\cdot 10^3\, \mathrm{N} \), que coincide con el resultado dado en el otro hilo.
