Buenas, me gustaría saber si está bien lo que hecho.
Por la definición de derivada:
\( sen'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}{\displaystyle\frac{sen(x + h) - sen(x)}{h}} \)
Y por la fórmula de la suma de ángulos:
\( sen(x + h) = sen(x)cos(h) + sen(h)cos(x) \)
Restando sen(x) y sacando factor común el numerador queda como:
\( sen(x)(cos(h) - 1) + sen(h)cos(x) \)
Y \( sen'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0}{\displaystyle\frac{sen(x)(cos(h) - 1)}{h}} + \displaystyle\lim_{h\to 0}{\displaystyle\frac{sen(h)cos(x)}{h}} \)
Para el primer limite queda:
\( sen(x) \displaystyle\lim_{h\to 0}{\displaystyle\frac{(cos(h) - 1)}{h}} = sen(x) \cdot{0} = 0 \)
Y para el segundo:
\( cos(x) \displaystyle\lim_{h\to 0}{\displaystyle\frac{sen(h)}{h}} = cos(x)\cdot{1} = cos(x) \)
Sumando:
\( sen'(x) = 0 + cos(x) = cos(x) \)
No sé si es suficiente con esto o tendría que demostrar también los límites de \( (cos(h) - 1)/h \) y \( sen(h)/h \) (cosa que veo más o menos clara probando con la calculadora, etc.. pero que "formalmente" no sé cómo hacer XD), o ya puestos la fórmula de la suma de ángulos, etc... la verdad que nunca sé hasta qué punto hay que extenderse (o no) en las demostraciones.
Saludos.
