Hola a todos. Comparto el siguiente ejercicio y mi resolución para que me digan si está correcta.
- Analizar el tipo de transformación asociada a la matriz:
\( A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{15}&{-6}&{-8}\\{-1}&{8}&{-6}\end{bmatrix} \)
En caso de representar una composición de movimientos, indicar cuáles son y sus
elementos característicos.
Mi resolución:
La submatriz asociada es \( M=\begin{pmatrix}{-6}&{-8}\\{8}&{-6}\end{pmatrix} \).
Efectuamos el producto \( M.M^t=\begin{pmatrix}{-6}&{-8}\\{8}&{-6}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{-6}&{8}\\{-8}&{-6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{100}&{0}\\{0}&{100}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{10^2}&{0}\\{0}&{10^2}\end{pmatrix}=k^2. I \)
Como \( |M|=k^2=100 \)y el determinante es distinto a +1 y -1, entonces tenemos que \( k=10 \)
Luego \( \displaystyle\frac{1}{10}M\neq I \) entonces M es proporcional a una matriz ortogonal, luego T es una semejanza de razón\( k=10 \).
Puntos dobles:
\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{15}&{-6}&{-8}\\{-1}&{8}&{-6}\end{bmatrix} \)\( \begin{pmatrix}{1}\\{x}\\{y}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{1}\\{x}\\{y}\end{pmatrix} \)
Resolviendo el sistema de ecuaciones me sale que \( x=1 \) e\( y=1 \)
Luego como \( \displaystyle\frac{1}{10}M = \begin{pmatrix}{-3/5}&{-4/5}\\{4/5}&{-3/5}\end{pmatrix} \) tiene determinante 1 corresponde a un giro; y comparando con la matriz de giro genérica \( \begin{pmatrix}{cos(\alpha)}&{-sin(\alpha)}\\{sen(\alpha)}&{cos(\alpha)}\end{pmatrix} \)vemos que se trata de un giro de 53° 7´ 48´´.
Se tiene que es la composición de una homotecia de razón 10, con centro en \( (1;1) \) y un giro de \( 53° 7´ 48´´.
\)
¿Está bien?
Saludos
