[Pie]

Buenas. Estaba pensando si se puede afirmar esto:

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)} dx = log(f(x)) \)

Según el Wolfram la relación es verdadera, pero estaba pensando en funciones compuestas por monomios de primer grado. Tipo \(  f(x) = ax \). En ese caso la derivada seria el coeficiente de la función con lo que ambos se cancelarian. Y el resultado de la integral no sería \( log(f(x)) \) sino \( log(x) \). ¿No?

En fin. Que no sé qué pensar porque el Wolfram dice que es cierto XD

Saludos.

[feriva]

Buenas. Estaba pensando si se puede afirmar esto:

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)} dx = log(f(x)) \)

Según el Wolfram la relación es verdadera, pero estaba pensando en funciones compuestas por monomios de primer grado. Tipo \(  f(x) = ax \). En ese caso la derivada seria el coeficiente de la función con lo que ambos se cancelarian. Y el resultado de la integral no sería \( log(f(x)) \) sino \( log(x) \). ¿No?

En fin. Que no sé qué pensar porque el Wolfram dice que es cierto XD

Saludos.

\( f'(x)=\dfrac{d(f(x))}{dx}
  \).

Con lo que la diferencial que queda es la de f(x); no la de “x”. Está bien lo que dice el Wolfram.

Es decir, si tienes esta primitiva

\( \int\dfrac{d(x)}{x}
  \)

y haces el cambio \( x=f(x)
  \) (que sólo cambia el nombre, pero no hay inconveniente) te queda

\( \int\dfrac{d(f(x))}{f(x)}
  \)

y es lo mismo.

Saludos.

[geómetracat]

Es el problema de siempre: la integral indefinida está definida salvo una constante (o mejor dicho, una función localmente constante). En tu caso lo que sucede es que \( \log(f(x))=\log(ax)=\log(x) + \log(a) \) y \( \log(a) \) es una constante.

Si usas la misma fórmula pero con integrales definidas, verás que siempre es cierta.

[Pie]

Ok, gracias chicos. No había caído que \( log(ax) \) podía verse como \( log(x) + C \)

Todo aclarado.

Saludos.