Hola
Hallar la cantidad de formas de distribuir 5 estudiantes en 15 asientos ubicados en fila, de modo que los estudiantes no se sienten en asientos consecutivos.
Opciones: A) 252; B) 126; C) 15120; D) 55440; E) 462.
Se me ocurrió hacer combinaciones de 8 tomadas de a 5 (\( C^8_5 = 56 \)), ya que de los 15 asientos quito 7, quedándome así los asientos no consecutivos, pero el resultado evidentemente no coincide con ninguna de las opciones. Hay algo que no estoy viendo y no me doy cuenta.
Moderación: editado para mejorar la lectura.
No me queda claro que quieres decir con que quitas los asientos "no consecutivos", ¿cuáles son?. Además no estás teniendo en cuenta que estudiante se sienta en cada asiento; se supone que no es lo mismo que en un asiento se siente Leo o se siente Diego.
Ten en cuenta lo siguiente si \( 1\leq x_1<x_2<x_3<x_4<x_5\leq 15 \) son cinco puestos no consecutivos (de entre los \( 15 \) totales), entonces tomando:
\( y_1=x_1,\quad y_2=x_2-1,\quad y_3=x_3-2,\quad y_4=x_4-3,\quad y_5=x_5-4 \)
Se tiene que \( 1\leq y_1<y_2<y_3<y_4<y_5\leq 11 \) son cinco números distintos del \( 1 \) al \( 11 \) y recíprocamente, eligiendo estos números tomando \( x_i=y_i+(i-1) \) se tienen cinco puestos no consecutivos entre el \( 1 \) y el \( 15 \).
Por tanto las formas de elegir las cinco posiciones no consecutivas son \( \displaystyle\binom{11}{5} \).
Una vez elegidas, los cinco estudiantes pueden ubicarse en ellas de \( 5! \) formas distintas.
Por tanto las formas de colocarse en los \( 15 \) asientos en puestos no consecutivos, son:
\( \displaystyle\binom{11}{5}\cdot 5!=11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=55440 \)
Saludos.
