[AveFenix]

Hola, estoy con este ejercicio pero no logro realizarlo, pide clasificar (no calcular) la siguiente integral:

\( \displaystyle\int _0^1\:\frac{In\left(x\right)^n}{\sqrt{x-x^3}}\:dx \)

Ya realice varios ejercicios pero este me tranque
Alguna idea? Gracias saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, estoy con este ejercicio pero no logro realizarlo, pide clasificar (no calcular) la siguiente integral:

\( \displaystyle\int _0^1\:\frac{In\left(x\right)^n}{\sqrt{x-x^3}}\:dx \)

Ya realice varios ejercicios pero este me tranque
Alguna idea? Gracias saludos!

En el numerador has puesto "In", ¿qué es eso?¿querías poner el logaritmo?.

Saludos.

[AveFenix]

Hola, si quise poner eso. Logaritmo saludos! Y  "n" son naturales.

[Juan Pablo Sancho]

\( n \) no pinta nada en la convergencia o divergencia:
\( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln(x^n)}{\sqrt{x-x^3}} \ dx = n \cdot \int_0^1 \dfrac{\ln(x)}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x^2}} \ dx  \).
Cerca del cero el término \( \sqrt{1-x^2}  \) no afecta a la convergencia ni divergencia , tenemos que ver:
\( \displaystyle \int_0^{\frac{1}{10}} \dfrac{\ln(x)}{\sqrt{x}} \ dx = \int_0^{\frac{1}{10}} \dfrac{\ln(x)}{x} \dfrac{x}{\sqrt{x}} \ dx =\int_0^{\frac{1}{10}} \dfrac{\ln(x)}{x} \sqrt{x} \ dx  \).
Cambio \(  u = log(x)  \)

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{-\ln(10)}   u  e^{u/2} \ du   \) que es convergente.

Cerca del uno:

\( \displaystyle \int_{0.9}^1 \dfrac{|\ln(x)|}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x^2}} \ dx < \int_{0.9}^1 \dfrac{|\ln(x)|}{\sqrt{0.9} \cdot \sqrt{1-x^2}} \ dx = \int_{0.9}^1 \dfrac{|\ln(x)|}{\sqrt{0.9} \cdot \sqrt{1-x} \cdot \sqrt{1+x}} \ dx    \).

Tenemos que evaluar:

\( \displaystyle \int_{0.9}^1 |\dfrac{\ln(x)}{\sqrt{1-x}}| \ dx < \int_{0.9}^1 |\dfrac{\ln(0.9)}{\sqrt{1-x}}| \ dx   \)

Para ver su convergecia o divergencia tendremos que evaluar:

\( \displaystyle \int_{0.9}^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \ dx  \) pero esta es convergente.