[Richard R Richard]

La ecuación \( y^3-x^2=\pm2 \) tiene forma algebraica, (algún pase de términos) que revele que la única solución en los naturales es \( y=3 \) y  \( x=5 \) o que de alguna forma para números mayores es imposible tener solución?


Mi método programado en Phyton  ha llegado de momento a \( y=13355 \) y \( x=1543220 \) sin resultados extra, en minutos, pero la idea es continuar ejecutando a menos que sea absurdo hacerlo porque ya se sabe que no hallaré nada.

[Luis Fuentes]

Hola

La ecuación \( y^3-x^2=\pm2 \) tiene forma algebraica, (algún pase de términos) que revele que la única solución en los naturales es \( y=3 \) y  \( x=5 \) o que de alguna forma para números mayores es imposible tener solución?


Mi método programado en Phyton  ha llegado de momento a \( y=13355 \) y \( x=1543220 \) sin resultados extra, en minutos, pero la idea es continuar ejecutando a menos que sea absurdo hacerlo porque ya se sabe que no hallaré nada.

En general la ecuación diofántica \( y^3-x^2=k \) se llama la ecuación de Mordell. Aquí puedes leer algo sobre ella:

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf

En particular en ese documento se prueba que \( y^3-x^2=2 \) sólo tiene como solución entera \( (x,y)=(5,3) \).

Por otro lado aquí, utilizando teoría de curvas elípticas, se esboza la prueba de que las únicas soluciones de \( y^3-x^2=-2 \) son \( (x,y)=(-1,\pm 1) \):

https://math.stackexchange.com/questions/347425/integer-solutions-for-x32-y2

Saludos.

[Richard R Richard]

Gracias Luis


No se me había ocurrido  encarar por el lado de los Modulos.
solo veía que cualquier entero a la sexta  hace que  con K=0 haya infinitas soluciones, luego intuí que había infinita con cada entero también, cosa demostrada que no, pasados los 3000000 de x tampoco halle nada para k=2 y k=-2