[AveFenix]

Hola estoy con un ejercicio el cual consiste en clasificar la integral (no calcularla)

\( \int _{\:-\infty \:}^{+\infty\:}sen\left(x^2\right)sen\left(\frac{1}{x^2}\right)dx \)

ya avanze de una manera en donde clasfique hasta cierto punto es decir

=  \( \int _{\:-\infty \:}^{0\:}sen\left(x^2\right)sen\left(\frac{1}{x^2}\right)dx \)+\( \int _{\:0\:}^{1\:}sen\left(x^2\right)sen\left(\frac{1}{x^2}\right)dx \)+\( \int _{\:1\:}^{+\infty \:}sen\left(x^2\right)sen\left(\frac{1}{x^2}\right)dx \)


las ultimas dos, ya clasifique que converge pues utilizando criterio de Dirichlet (rojo) y luego utilizando criterio de integrales equivalentes de sumatorias con valor abs ( verde ), pero la primera (color azul) no me estoy dando cuenta como realizarla.

Saludos estaré pendiente de como realizan el ultimo paso. Gracias.

[Juan Pablo Sancho]

La función es par entonces si es integrabe se cumple:
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \sen(x^2) \cdot \sen(\dfrac{1}{x^2}) \ dx = 2 \cdot \int_0^{+\infty} \sen(x^2) \cdot \sen(\dfrac{1}{x^2}) \ dx  \)

Por otr lado:
Podemos definir en cero que la funcinción valga cero y tenemos que \( \sen(x) \sen(\dfrac{1}{x^2})  \) es una función continua en \( [0,1] \) luego integrabe, la verdad que en cero puede tomar cualquier valor por ser \( \sen(x^2) \cdot \sen(1/x^2)  \) continua y acotada en ]0,1[/tex].

[AveFenix]

Hola, pues me resulta mas fácil verla de esa forma \( 2\int _0^{+\infty }sen\left(x^2\right)sen\left(\frac{1}{x^2}\right)\:dx \)

Con integrales no había visto esa "propiedad" de si es función par ( es simétrica al eje y) , e integrable entonces puedo escribirla de esa manera, no he estudiado nada parecido.
De donde lo has sacado? quiero darle un vistazo ya que puede ayudarme para posibles futuros ejercicios similares.
Muchas gracias.

Ya la encontre : La integral de una función impar entre -A y +A es cero (donde A es finito o infinito, y la función no posee ninguna asíntota vertical entre -A y A).
La integral de una función par entre -A y +A es el doble de la integral entre 0 y +A (donde A es finito, y la función no posee ninguna asíntota vertical entre -A y A).

Estoy buscando la demostración para justificar esto, ya que me interesa.

[Juan Pablo Sancho]

\( \displaystyle \int_{-A}^A f(x) \ dx = \int_{-A}^0 f(x) \ dx + \int_{0}^A f(x) \ dx  \)

\( u = -x \) entonces \( -du = dx  \)

\( \displaystyle \int_{-A}^0 f(x) \ dx = \int_{A}^0 f(-u) (-du) = \int_0^A f(-u) \ du = \int_0^A f(u) \ du  \)