[jdominguezx]

Estoy intentando hacer este ejercicio pero llego a un resultado erróneo, la respuesta es 0.02m y a mi me da 0.015m (es una de las opciones incorrectas en el practico)...no se en que parte del planteo me estoy equivocando, yo lo intente resolver por conservación de energía (me resulto imposible haciéndolo por 2da ley)

A ver si alguien me puede ayudar

[Masacroso]

No sé si mi planteamiento será el correcto pero yo plantearía el problema utilizando el principio que relaciona el trabajo y la energía cinética aplicado al centro de masa, es decir que

\( \displaystyle{
E_{k,2}-E_{k,1}=\int_{x_1}^{x_2}\left(Mg \frac{\sqrt{2}}{2} -ks\right)d s
} \)

siendo \( E_{k,2} \) la energía cinética cuando la velocidad (tangencial) es cero (o sea, cuando \( x_2 \) es máximo) y \( E_{k,1} \) la energía cinética cuando la velocidad tangencial del cuerpo es \( 0,34 \), que se corresponde al momento en el que \( x_1=0,01 \).

Corregido: al inicio había asumido una expresión de la energía cinética que sólo contemplaba la velocidad tangencial, es decir, en vez de \( E_{k,j} \) (para \( j=1,2 \)) había escrito \( \frac1{2}mv_j^2 \), la cual es errónea en este caso ya que el cuerpo que rueda tiene además una velocidad angular y por tanto una energía cinética rotacional, es decir que \( E_{k,j}=\frac1{2}(mv_j^2+I\omega_j ^2) \), siendo \( I \) el momento de inercia.

[hméndez]

Estoy intentando hacer este ejercicio pero llego a un resultado erróneo, la respuesta es 0.02m y a mi me da 0.015m (es una de las opciones incorrectas en el practico)...no se en que parte del planteo me estoy equivocando, yo lo intente resolver por conservación de energía (me resulto imposible haciéndolo por 2da ley)

A ver si alguien me puede ayudar

Por conservación de energía tienes:

\( \displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2+\displaystyle\frac{1}{2}I w^2+\displaystyle\frac{1}{2}k \Delta S_1^2+m g (\Delta S_2-\Delta S_1)\sin(\theta)=\displaystyle\frac{1}{2}k \Delta S_2^2  \)  (\( \Delta S_2 \) se refiere a la máxima elongación del resorte)

\( \displaystyle\frac{1}{2}mv_1^2+\displaystyle\frac{1}{{\color{blue}4}}m R^2 \left ({\displaystyle\frac{v_1}{R}}\right )^2+\displaystyle\frac{1}{2}k \Delta S_1^2+m g (\Delta S_2-\Delta S_1)\sin(\theta)=\displaystyle\frac{1}{2}k \Delta S_2^2 \)

\( {\color{blue}\displaystyle\frac{3}{4}}mv_1^2+\displaystyle\frac{1}{2}k \Delta S_1^2+m g (\Delta S_2-\Delta S_1)\sin(\theta)=\displaystyle\frac{1}{2}k \Delta S_2^2 \)

Después de sustituir valores se puede poner:

\( {\color{red}\cancel{\Delta S_2^2-0.00138734\Delta S_2-0.000192466=0}} \)

\( {\color{blue}\Delta S_2^2-0.00138734\Delta S_2-0.000134666=0} \)


Con una solución \( {\color{red}\cancel{\Delta S_2=0.0224475}} \)   \( {\color{blue}\Delta S_2=0.0204565}\approx{0.02} \)

Saludos.

P.D. Espero que entiendas lo que he escrito si no, pregunta.
       Se utilizó \( g=9.81\;m/s^2  \)

Editado por hméndez

[Richard R Richard]

Un planteo similar , me lleva a


\( \dfrac{1}{2}mv_1^2+\dfrac{1}{2}(\overbrace{\dfrac 12 mR^2}^I) \dfrac{v^2}{R^2}+\dfrac{1}{2}k \Delta S_1^2+m g (\Delta S_2-\Delta S_1)\sin(\theta)=\dfrac{1}{2}k \Delta (\dfrac{h}{\sin\theta}+\Delta S_2)^2 \)


\( \dfrac{1.5\cdot 0.34^2}{2}+\dfrac{1.5\cdot 0.34^2 }{4} +\dfrac{1500}{2} 0.01^2+1.5 \cdot 9.8 (\Delta S_2-0.01)\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{1500}{2} (\Delta S_2)^2 \)


\( 0,079967182+ 12,50828181\Delta S_2-750\Delta S_2^2=0 \)

\( \Delta S_2=0.0216m\cong0.02m \)

[JCB]

Hola a tod@s.

El planteamiento alternativo al energético, es el de la Dinámica, como ya citaba jdominguezx en el enunciado. Considerando un eje paralelo al plano inclinado,

\( \sum{F}=ma \)

\( -kx-F_r+mg\sin\theta=ma \) (1)

\( \sum{M}=I\alpha \)

\( F_rR=\dfrac{1}{2}mR^2\dfrac{a}{R} \)

\( F_r=\dfrac{1}{2}ma \) (2)

Sustituyendo (2) en (1) y despejando,

\( a=\dfrac{2}{3}\left(g\sin\theta-\dfrac{kx}{m}\right) \) (3)

Como \( a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dv}{dx}v \), igualando esta expresión con (3) y agrupando,

\( \dfrac{2}{3}\left(g\sin\theta-\dfrac{kx}{m}\right)dx=vdv \)

Integrando entre \( x_0 \) y \( x_f \), y entre \( v_0 \) y \( v_f=0 \), llego a la siguiente ecuación de segundo grado:

\( -\dfrac{k}{3m}x_f^2+\dfrac{2}{3}g\sin\theta x_f+\left(\dfrac{k}{3m}x_0^2-\dfrac{2}{3}g\sin\theta x_0+\dfrac{v_0^2}{2}\right)=0 \)

Después de sustituir \( x_0=0,01\ m \), \( v_0=0,34\ m/s \), y los otros valores, obtengo finalmente

\( x_f=0,0205\ m \)

Nota: como hméndez, también he empleado \( g=9,81\ m/s^2 \).

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

También me ha parecido especialmente interesante la variante propuesta por Masacroso, al método energético empleado por hméndez (y seguido con posterioridad por Richard). Desarrollándola (espero que sea con la anuencia de Masacroso),

\( \sum{W}=\Delta E_c \)

\( mg\sin\theta(x_f-x_0)-k\displaystyle\int_{x_0}^{x_f}xdx=0-\dfrac{1}{2}I\omega_0^2-\dfrac{1}{2}mv_0^2 \)

Sustituyendo \( I=\dfrac{1}{2}mR^2 \), \( \omega_0=\dfrac{v_0}{R} \) y operando, llego a la ecuación de segundo grado siguiente:

\( -\dfrac{k}{2}x_f^2+mg\sin\theta x_f+\left(\dfrac{3}{4}mv_0^2-mg\sin\theta x_0+\dfrac{k}{2}x_0^2\right)=0 \)

Sustituyendo valores y operando, obtengo finalmente

\( x_f=0,0205\ m \)

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Gracias por desarrollar soluciones alternativas, es una pena que el resultado sea tan sencible al valor de g, y que en el solucionario se lo trunque con un fin no muy claro, creo que lo que logra es desorientar al que al menos tuvo una respuesta cercana.
Dar el valor justo de g 9.80665m/s^2 no mejora en aproximarse al valor del solucionario.

[JCB]

Hola a tod@s.

De todas maneras, Richard, lo relevante no es emplear el valor exacto de \( g \), sino publicar el desarrollo del método empleado, para poder comprobar si este desarrollo es correcto. Dando solo el valor numérico del resultado (como hizo jdominguezx), es insuficiente para valorar si el desarrollo de su método fue el correcto.

Saludos cordiales,
JCB.