[jacks]

Evaluation of \( \displaystyle \int^{1}_{0}\frac{\ln(1-t)}{\sqrt{t-t^3}}dt \)

[Richard R Richard]

According to wolfram alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+%28Ln+%281-x%29%29%2F%28x-x%5E3%29%5E0.5+dx+from+x%3D0+to+1

\( \displaystyle \int^{1}_{0}\frac{\ln(1-t)}{\sqrt{t-t^3}}dt=-3.20998 \)

[Juan Pablo Sancho]

Supongo que lo que piden es ver si se puede integrar.
Tenemos que \( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ dx  \) es integrable.
Como \( t-t^3 = t \cdot (1-t^2) = t \cdot (1-t) \cdot (1+t)  \).
\( \dfrac{\log(1-t)}{\sqrt{t}} = \dfrac{\log(1-t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sqrt{t}} = \dfrac{\log(1-t)}{t} \cdot \sqrt{t}  \).
\( \displaystyle \lim_{t \to 0}   \dfrac{\log(1-t)}{\sqrt{t}} = 0 \).
Tenemos que la función es integrable en \( [0 , \epsilon]  \) con \( 0 < \epsilon < 1 \).

Cerca del uno podemos poner \( t = 1-u \) con \( u \to 0^+ \) y hacer lo mismo.

[Masacroso]

He intentado resolverla con cambios de variable y cosas sencillitas pero no he visto manera. Finalmente me he rendido y he buscado una solución en MSE, la cual he encontrado y puede verse en el siguiente enlace si a alguien le interesa:

https://math.stackexchange.com/questions/702681/integral-int-01-frac-log1-x-sqrtx-x3dx