[CintiaTotti]

Hola, buenas noches. Estoy teniendo problemas con el cálculo de volúmenes de los sólidos de revolución.
Utilizo el método por arandelas y no logro comprender cómo obtener lo que llaman "Radio mayor" (R) y "Radio inferior" (r) de la fórmula:
\( V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}(R(x))^2-(r(x))^2 dx \)
Mi problema específicamente surge cuando el sólido no gira sobre \( y=0 \) o \( x=0 \).

Por ejemplo, tengo dos ejercicios que dicen lo siguiente:

i) Hallar el volúmen del sólido de revolución que se obtiene de girar el área encerrada por las curvas \( y=2 \ \) e \( \ y=4-\frac{4}{x} \) alrededor de \( y=5 \)



ii)Hallar el volúmen del sólido de revolución que se obtiene de girar el área encerrada por las curvas \( x=-y^2+4y\  \) e \( \ y=1 \) alrededor de \( x=-1 \)



Si alguien me pudiera dar algo de claridad por favor. Desde ya muchas gracias a todos.

[ingmarov]

Hola Cintia

Hola, buenas noches. Estoy teniendo problemas con el cálculo de volúmenes de los sólidos de revolución.
Utilizo el método por arandelas y no logro comprender cómo obtener lo que llaman "Radio mayor" (R) y "Radio inferior" (r) de la fórmula:
\( V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}(R(x))^2-(r(x))^2 dx \)
Mi problema específicamente surge cuando el sólido no gira sobre \( y=0 \) o \( x=0 \).

Por ejemplo, tengo dos ejercicios que dicen lo siguiente:

i) Hallar el volúmen del sólido de revolución que se obtiene de girar el área encerrada por las curvas \( y=2 \ \) e \( \ y=4-\frac{4}{x} \) alrededor de \( y=5 \)



ii)Hallar el volúmen del sólido de revolución que se obtiene de girar el área encerrada por las curvas \( x=-y^2+4y\  \) e \( \ y=1 \) alrededor de \( x=-1 \)



Si alguien me pudiera dar algo de claridad por favor. Desde ya muchas gracias a todos.

Podrías trasladar el sólido y que las curvas giren en torno al eje x o al eje y restando a ambas funciones la constante entorno a la cual están rotando originalmente.

De esa forma las funciones dadas en los incisos quedarían así:
i)
\[ y=2{\color{red}-5}=\bf -3 \]
\[ y=4-\dfrac{4}{x}{\color{red}-5}=\bf -1-\dfrac{4}{x} \]

rotando entorno a y=0

No veo cuál es el área encerrada aquí



ii)

\[ x=-y^2+4y{\color{red}-(-1)}=\bf -y^2+4y+1 \]
\[ x=1{\color{red}-(-1)}=\bf 2 \]

Alrededor de x=0



Saludos

[CintiaTotti]

Es que habla de volúmen del sólido y no de área, ¿eso no afecta nada esto que me dijiste?

[Richard R Richard]

Se tratan de dos anillos   que rotan en un espacio 3d ,


El primero es un anillo al rededor del eje  \( y=5 \)  tienes que correr el eje y al origen




\( V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}(R(x))^2-(r(x))^2 dx \)


\( V=\pi\displaystyle\int_{-\sqrt8}^{\sqrt 8} (2-5)^2-((4-\frac{x^2}{4})-5)^2 dx \)


\( \pm\sqrt8 \) como limites surgen de la intersección de la recta \( y=2 \) con \( y=4-\frac{x^2}{4} \)  igualando las \( y \) despejando \( x \)


el segundo


\( V=\pi\displaystyle\int_{1}^{4}(-y^2+4y-(-1))^2-(0-(-1))^2 dy \)

fíjate que la función interseca al limite inferior \( (y=0) \) en \( x=0 \) que estará a distancia 1 del eje de rotación\( x=-1 \)

[CintiaTotti]

Se tratan de dos anillos   que rotan en un espacio 3d ,


El primero es un anillo al rededor del eje  \( y=5 \)  tienes que correr el eje y al origen




\( V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}(R(x))^2-(r(x))^2 dx \)


\( V=\pi\displaystyle\int_{-\sqrt8}^{\sqrt 8} (2-5)^2-((4-\frac{x^2}{4})-5)^2 dx \)


\( \pm\sqrt8 \) como limites surgen de la intersección de la recta \( y=2 \) con \( y=4-\frac{x^2}{4} \)  igualando las \( y \) despejando \( x \)


el segundo


\( V=\pi\displaystyle\int_{1}^{4}(-y^2+4y-(-1))^2-(0-(-1))^2 dy \)

fíjate que la función interseca al limite inferior \( (y=0) \) en \( x=0 \) que estará a distancia 1 del eje de rotación\( x=-1 \)

Sería como la distancia entre el eje que rota y las curvas?

[Richard R Richard]

Sería como la distancia entre el eje que rota y las curvas?

Claro R es la distancia entre el eje de rotación y la curva mas lejana al eje de rotación y \( r \) es la distancia a la curva mas cercana.

[CintiaTotti]

Sería como la distancia entre el eje que rota y las curvas?

Claro R es la distancia entre el eje de rotación y la curva mas lejana al eje de rotación y \( r \) es la distancia a la curva mas cercana.

Y una pregunta. ¿Cómo sé cómo acomodar esa resta? Es decir si se resta el eje de rotación con la curva o al revés?

[Richard R Richard]

Hola primero dibuja la figura que describen las dos funciones,
traza el eje de rotación llamémosle A,
ahora traza una recta perpendicular al eje de rotación A y  llamemosle a esta B
la recta B cortara en algún punto a la grafica de las dos funciones, definiendo dos segmentos,  que inician en cada función y terminan en el eje de rotación,
el segmento más corto será el que describas como distancia r y el mas lejano como R.

Fijate que dentro de la integral tanto R como r están elevados al cuadrado, por lo que da lo mismo (si lo que se eleva es negativo o positivo),   es decir restar la función al eje, que el eje a la función da el mismo resultado ,pero lo importante es que R sea la mas lejana y r la mas cercana, porque?, porque si no el resultado te será igual  en valor absoluto pero negativo su signo, y no hay volúmenes negativos.
 

[CintiaTotti]

Hola primero dibuja la figura que describen las dos funciones,
traza el eje de rotación llamémosle A,
ahora traza una recta perpendicular al eje de rotación A y  llamemosle a esta B
la recta B cortara en algún punto a la grafica de las dos funciones, definiendo dos segmentos,  que inician en cada función y terminan en el eje de rotación,
el segmento más corto será el que describas como distancia r y el mas lejano como R.

Fijate que dentro de la integral tanto R como r están elevados al cuadrado, por lo que da lo mismo (si lo que se eleva es negativo o positivo),   es decir restar la función al eje, que el eje a la función da el mismo resultado ,pero lo importante es que R sea la mas lejana y r la mas cercana, porque?, porque si no el resultado te será igual  en valor absoluto pero negativo su signo, y no hay volúmenes negativos.

Hola Richard. Ahhh entiendo. Y esa recta B que vos nombras, ¿podría ser el  propio rectángulo amarillo ese que aparece dibujado en las gráficas, no?

Y ya para sacarme la duda, ¿ese rectángulo siempre queda perpendicular al eje del que se quiere realizar la rotación?(hablando siempre de los métodos por arandelas o discos)

[Richard R Richard]

Exacto!!!!


Observa que en los dos problemas el largo de la barra, es R-r,  ,tienes que prolongar esas barras hasta el eje de giro, y así tienes tanto r como R.