[Chocolate]

Enunciado:

Observe una particula con Spin $$S$$, posición $$R = (X, Y, Z)$$, Impulso $$P = (Px, Py, Pz)$$, Impulso angular $$L$$ e
Impulso totals $$J = L + S$$. Calcule los comutatores

Hola.
Queria saber si se puede simplifcar $$ [L_i, S_j]$$
$$[J_x, J_y] = [L_x + S_x,L_y + S_y] =[L_x ,L_y + S_y] +[S_x ,L_y + S_y]=[L_x ,L_y]+[L_x ,S_y]+[S_x,L_y]+[S_x,S_y]$$
$$=i\hbar*L_z+i\hbar*S_z+[L_x ,S_y]+[S_x,L_y]$$

[geómetracat]

En castellano es conmutador, no "comutator".
Sobre la pregunta, el momento angular orbital y el espín conmutan, \( [L_i,S_j]=0 \) para todo \( i,j \). La idea es que el estado de una partícula con espín pertenece a un espacio de Hilbert que es producto tensorial de dos, la parte "espacial" (normalmente \( L^2(\Bbb R^3) \)) y la parte de espín. El momento angular orbital \( L \) actúa en el primer espacio de Hilbert pero es la identidad en el segundo, mientras que \( S \) actúa en el segundo pero es la identidad en el primero.

[Chocolate]

En castellano es conmutador, no "comutator".
Sobre la pregunta, el momento angular orbital y el espín conmutan, \( [L_i,S_j]=0 \) para todo \( i,j \). La idea es que el estado de una partícula con espín pertenece a un espacio de Hilbert que es producto tensorial de dos, la parte "espacial" (normalmente \( L^2(\Bbb R^3) \)) y la parte de espín. El momento angular orbital \( L \) actúa en el primer espacio de Hilbert pero es la identidad en el segundo, mientras que \( S \) actúa en el segundo pero es la identidad en el primero.

Perdon, es que estudio principalmente con libros alemanes e ingleses. 😅

Vale, creo que tengo que volver a repasar un poco los espacios Hilbert. Es que aun me cuesta imaginar el producto tensorial.

Aunque ahora estoy en el último curso de matemáticas. Supongo que el profesor lo explicará en las siguientes clases.

Entonces, el resultado final es

$$i\hbar*L_z+i\hbar*S_z$$?

[geómetracat]

Supongo que te explicarán lo del producto tensorial de espacios de Hilbert, ya que es esencial en mecánica cuántica en cuanto tienes sistemas compuestos. De todas formas la idea es la que te he dicho antes: los operadores \( L \) y \( S \) actúan de manera independiente, porque el primero únicamente actúa sobre la parte "espacial" de la partícula y el segundo únicamente sobre la parte de espín.

Entonces, el resultado final es

$$i\hbar*L_z+i\hbar*S_z$$?

Sí, y teniendo en cuenta que \( L_z+S_z=J_z \) te queda que \( [J_x,J_y]=i\hbar J_z \). Que es lo que tiene que salir porque \( J \) es un momento angular (el momento angular total), y esto quiere decir que el álgebra de Lie de los operadores \( J_x,J_y,J_z \) debe ser \( \mathfrak{so}(3) \), al igual que la de los operadores \( L \) y los operadores \( S \).

[manooooh]

Hola

Supongo que te explicarán lo del producto tensorial de espacios de Hilbert, ya que es esencial en mecánica cuántica en cuanto tienes sistemas compuestos. (...)

¿Qué son los sistemas compuestos?

Gracias y saludos

[geómetracat]

¿Qué son los sistemas compuestos?

Pues sistemas compuestos de otros sistemas más simples. Por ejemplo, cuando tienes un sistema de dos partículas, eso es un sistema compuesto. Y el espacio de estados del sistema de dos partículas viene dado por el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las partículas individuales. El hecho de que se use el producto tensorial (y no el producto directo, por ejemplo) es lo que permite modelizar toda una serie de fenómenos cuánticos curiosos, como el famoso entrelazamiento cuántico.

[manooooh]

Hola

Pues sistemas compuestos de otros sistemas más simples. Por ejemplo, cuando tienes un sistema de dos partículas, eso es un sistema compuesto. Y el espacio de estados del sistema de dos partículas viene dado por el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las partículas individuales. El hecho de que se use el producto tensorial (y no el producto directo, por ejemplo) es lo que permite modelizar toda una serie de fenómenos cuánticos curiosos, como el famoso entrelazamiento cuántico.

O sea, por ejemplo, ¿los sistemas simples vendrían a ser puntuales? (En un punto).

¿Y los sistemas complejos consideran las fuerzas externas actuantes sobre los cuerpos? ¿O también pueden intervenir en una sola partícula/objeto (o ya pasarían a ser compuestos)?

Saludos

[Chocolate]

Supongo que te explicarán lo del producto tensorial de espacios de Hilbert, ya que es esencial en mecánica cuántica en cuanto tienes sistemas compuestos. De todas formas la idea es la que te he dicho antes: los operadores \( L \) y \( S \) actúan de manera independiente, porque el primero únicamente actúa sobre la parte "espacial" de la partícula y el segundo únicamente sobre la parte de espín.

Entonces, el resultado final es

$$i\hbar*L_z+i\hbar*S_z$$?

Sí, y teniendo en cuenta que \( L_z+S_z=J_z \) te queda que \( [J_x,J_y]=i\hbar J_z \). Que es lo que tiene que salir porque \( J \) es un momento angular (el momento angular total), y esto quiere decir que el álgebra de Lie de los operadores \( J_x,J_y,J_z \) debe ser \( \mathfrak{so}(3) \), al igual que la de los operadores \( L \) y los operadores \( S \).

Ahh claro, es el impulso  angular total en dirección $$z$$ jaja. Si, la $${so}(3)$$ si la conozco de Matematicás del segundo semestre

[geómetracat]

O sea, por ejemplo, ¿los sistemas simples vendrían a ser puntuales? (En un punto).

No necesariamente. Por ejemplo, puedes tener un sistema compuesto de otros dos, cada uno de los cuales sea a su vez un sistema de varias partículas.
Por otro lado, en el caso que hablábamos aquí, hay una única partícula, pero aún así se puede pensar como un sistema compuesto, donde los subsistemas corresponden a la parte espacial y a la parte de espín. Hay mucha flexibilidad en el concepto de "sistema compuesto".
Por otro lado, en mecánica cuántica lo de "puntual" es un poco problemático.

¿Y los sistemas complejos consideran las fuerzas externas actuantes sobre los cuerpos? ¿O también pueden intervenir en una sola partícula/objeto (o ya pasarían a ser compuestos)?

Puede ser, pero eso también lo puedes considerar en sistemas simples. Es decir, tú puedes tener una partícula (digamos sin espín) cuyo espacio de Hilbert no se descomponga como producto tensorial de otros dos, y tener fuerzas externas actuando sobre la partícula. Es decir, lo de las fuerzas externas no afecta a si el sistema es compuesto o no.