[Chorite]

Enunciado

Un gato ve que un pájaro se acerca hacia donde esta él, volando horizontalmente a una velocidad constante de 10 km/h y una altura de 2 metros.

El gato calcula que deberá saltar verticalmente hacia arriba cuando el pájaro se encuentre aún a una cierta distancia, para interceptarlo en el momento justo en que pase por arriba suyo. ¿Cuál es esa distancia?

Solucion propuesta

Comencé planteando las ecuaciones horarias:

PAJARO: \( y= x_0 + v . t = 2m + 2,7778 \displaystyle\frac{m}{s} . t \)

GATO: \( y= y_0 + v_0 t - 1/2 g t^2 \) = \( 2m= 0m + v_0 t - 1/2 g t^2 \)

Pero desde ahi no se cómo seguir. ¿Qué debería hacer?

[JCB]

Hola a tod@s.

Considero \( v_f=v_0-gt \) y \( v_f^2=v_0^2-2gh \) (¿ recuerdas leandroalvarez ?). Para que haya interceptación, \( v_f=0 \). Combinando ambas ecuaciones, el tiempo necesario para que el gato ascienda verticalmente una altura \( h \), es

\( t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=0,64\ s \)

En este tiempo, el pájaro ha recorrido una distancia \( d=vt=1,77\ m \). Es decir, el gato debe saltar cuando el pájaro se encuentre a esta distancia.

Saludos cordiales,
JCB.

[Chorite]

Hola a tod@s.

Considero \( v_f=v_0-gt \) y \( v_f^2=v_0^2-2gh \) (¿ recuerdas leandroalvarez ?). Para que haya interceptación, \( v_f=0 \). Combinando ambas ecuaciones, el tiempo necesario para que el gato ascienda verticalmente una altura \( h \), es

\( t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=0,64\ s \)

En este tiempo, el pájaro ha recorrido una distancia \( d=vt=1,77\ m \). Es decir, el gato debe saltar cuando el pájaro se encuentre a esta distancia.

Saludos cordiales,
JCB.

Muchas Gracias JCB, es tal cual como decís. Todavía no logro apropiarme de esa formula, pero recuerdo que me la habías mencionado.

[Richard R Richard]

Hola , JCB aprovecho  tu respuesta para comentarle a Leandro  que sin duda tu respuesta es correcta, y es la más obvia porque  estamos acostumbrados a resolver estás situaciones haciendo suposiciones simples, de algunos datos que no están en el enunciado, pero , hay que decir  que también se puede interceptar de muchisimas otras maneras sin necesidad de hacer  que la velocidad del gato sea cero al alcanzar al pájaro, de hecho el pájaro no reduce su velocidad.e impacta al gato, porque no suponer que el gato también lo impacta con cierta velocidad ascendente o descendente.


En definitiva el problema se resolvería igualando la ecuación de las posiciones y=2m para cualquier velocidad inicial que sea mayor a la que ha calculado JCB que es la mínima. La solución arrojaria dos tiempos, uno atrapando a la subida y otro posible  a la bajada.
Una vez obtenido el tiempo se calcula la distancia a la que debe estar el pájaro al momento de saltar en gato mutiplicando por la velocidad del pájaro.

[JCB]

Hola a tod@s.

Encuentro interesante el aspecto o matiz que le ha dado Richard al ejercicio, yendo un poco más allá. Desarrollándolo, he llegado a la siguiente ecuación de segundo grado

\( \dfrac{g}{2v_p^2}d^2+\dfrac{v_g}{v_p}d-2=0 \)

donde \( v_g \), es la velocidad del gato en el instante de la interceptación del pobre pájaro. Es decir, la distancia \( d \) a la que se encuentra el pájaro, queda en función de la velocidad del gato \( (v_g) \) en el instante de la interceptación.

Se cumple que para el caso particular de \( v_g=0\ m/s \), \( d=1,77\ m \).

Advertencia: la ecuación es válida para encuentros donde el movimiento del gato es solo en sentido ascendente.

Saludos cordiales,
JCB.

[hméndez]

Hola a tod@s.

Encuentro interesante el aspecto o matiz que le ha dado Richard al ejercicio, yendo un poco más allá. Desarrollándolo, he llegado a la siguiente ecuación de segundo grado

\( \dfrac{g}{2v_p^2}d^2+\dfrac{v_g}{v_p}d-2=0 \)

donde \( v_g \), es la velocidad del gato en el instante de la interceptación del pobre pájaro. Es decir, la distancia \( d \) a la que se encuentra el pájaro, queda en función de la velocidad del gato \( (v_g) \) en el instante de la interceptación.

Se cumple que para el caso particular de \( v_g=0\ m/s \), \( d=1,77\ m \).

Advertencia: la ecuación es válida para encuentros donde el movimiento del gato es solo en sentido ascendente.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola JCB, con esta ecuación se resuelve el problema para cuando el gato vaya tanto en subida como en bajada, claro
el menor valor de \( d \) será para cuando el felino vaya ascendiendo:

\( \dfrac{g}{2v_p^2}d^2-\dfrac{\sqrt[ ]{v_g^2+2g2}}{v_p}d+2=0 \)

Saludos.

[JCB]

Gracias hméndez.

Pensaré en ello.

Saludos cordiales,
JCB.