[David.O]

Buenas tardes,

Me podrían ayudar por favor planteando la solucion de estos dos ejercicios, los encontré en un libro pero no llego a los resultados que plantean.

Ejercicio 1: si sobre una cuerda arrollada a la polea de la figura se “tira” con una fuerza constante \( F=40\ N \), provocando que el cuerpo de masa \( m=4\ kg \) ascienda con una aceleración \( a=0,5\ m/s^2 \), siendo los radios de la polea \( r=8\ cm \) y \( R=12\ cm \), calcular: a) Momento de inercia de la polea. b) Tensión de la cuerda que sujeta la masa m.



Espero puedan ayudarme. Muchas gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

Por favor sigue las reglas del foro; escribe el texto de los problemas y reserva la imágenes sólo para los gráficos complementarios.

[JCB]

Hola a tod@s.

Ejercicio 1: si sobre una cuerda arrollada a la polea de la figura se “tira” con una fuerza constante \( F=40\ N \), provocando que el cuerpo de masa \( m=4\ kg \) ascienda con una aceleración \( a=0,5\ m/s^2 \), siendo los radios de la polea \( r=8\ cm \) y \( R=12\ cm \), calcular: a) Momento de inercia de la polea. b) Tensión de la cuerda que sujeta la masa m.



Para el primer ejercicio, apliquemos la segunda ley de Newton al bloque:

\( \sum{F}=ma \)

\( T-mg=ma \)

\( T=m(a+g)=41,20\ N \)

Después, la Dinámica de rotación a la polea:

\( \sum{M}=I\alpha \)

\( FR-Tr=I\alpha=I\dfrac{a}{r} \)

\( I=\dfrac{(FR-Tr)r}{a}=0,24\ kgm^2 \)

Dejo el segundo ejercicio para otros participantes. También sería conveniente que una vez vista la resolución del primer ejercicio, David. O, publicases tus resultados para el segundo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Los resultados no te dan? Cuáles han sido , como los obtuviste? Y cuales fueron los que esperabas obtener?
Recuerda que siempre es mejor postear un solo problema por hilo del foro.
Si esperas que alguien dedique tiempo para tipear una respuesta , sería bueno que dediques el mismo esfuerzo en tipear el enunciado, o bien copiando y pegando el texto, Las imágenes ocupan más espacio, y nadie podrá encontrar ese enunciado por medio de una función de búsqueda en el foro.

Saludos

[David.O]

JCB, muchas gracias por ayudarme. Tengo una pregunta si me puedes responder por favor... En el segundo punto me dan el radio de giro de la polea, el momento de inercia sería el radio de giro al cuadrado por la masa de polea o sería eso, pero multiplicado por 1/2?
 Mis ecuaciones son:

\( \displaystyle\sum{Fx =m1a} \)
\( F - T - Fr = m1a \)

\( \displaystyle\sum{Fy =0} \)
\( m1g - N =0 \)

Para el segundo bloque sería:

\( \displaystyle\sum{Fx =m2a} \)
\(  T - m2gsen θ =m2a \)
 
\( \displaystyle\sum{Fy =0} \)
\(  N - m2gcosθ=0 \)
 
Y la ecuación de rotacion:

\( \displaystyle\sum{M =Iα} \)
\( T2R - T1R = Iα  \)

Obtengo otra ecuación :

\( a = Rα  \)

Y también que: \(  I = (Rg)^2 (Mp)  \)

No se si esté en lo correcto, es que él ejercicio dice que es una polea, con radio de giro y masa, pero no dice si es sólida, maciza... Me pueden corregir por favor si estoy equivocado.

Gracias!

[Richard R Richard]

El radio de giro es la distancia a la cual colocas toda la masa en un anillo  de ese radio y este  tiene el mismo momento de inercia que alguna otra figura equivalente, en este caso la polea. Pero el momento de inercia que usa es \( MR_g^2 \) no el del anillo similar a un disco hueco  que se calcula empleando el 1/2.

Spoiler

Te dejo un enlace a un blog con momentos de inercia a distintas figuras geométricas Momentos de inercia 

[cerrar]

[David.O]

Richard, saludos...

Lo que me tratas de decir es que sería el momento de inercia de un disco, cierto? Así mismo quiero preguntarte, como interpreto las tensiones?

\( T = T1 = T2 \)?

El sistema me dice que el bloque asciende con una aceleración, esa aceleración es la misma para todo el sistema, es decir, para los bloques y para la ecuación \( a = αR \)?

Disculpame, es que he estado un poco enredado en el tema, espero puedas ayudarme. Muchas gracias.

[JCB]

Hola a tod@s.

Ejercicio 2: se aplica una fuerza \( F \) sobre la masa \( m_1=4\ kg \) tal como se indica en la figura, para que el sistema ascienda con aceleración de \( 0,5\ m/s^2 \). La masa \( m_1 \) tiene un rozamiento con el suelo \( \mu=0,2 \), la masa \( m_2=6\ kg \) sobre un plano inclinado de \( 30^{\circ} \) no roza con el suelo y la polea tiene una masa \( m_p=1\ kg \) y un radio \( r=4\ cm \) y un radio de giro \( r_g=\dfrac{r}{2} \). Calcular: a) Valor de la fuerza F. b) Tensiones en las cuerdas.



Pasemos, pues, al segundo ejercicio. El radio de giro se define como \( r_g=\sqrt{\dfrac{I}{m_p}} \). Como el enunciado indica que \( r_g=\dfrac{r}{2} \), igualando resulta \( I=\dfrac{m_pr^2}{4} \) (1), \( I=0,0004\ kgm^2 \)

Segunda ley aplicada a \( m_2 \):

\( \sum{F}=m_2a \)

\( T_2-m_2g\sin\theta=m_2a \)

\( T_2=m_2(a+g\sin\theta) \)

\( T_2=32,40\ N \)

Dinámica de rotación:

\( \sum{M}=I\alpha \)

\( T_1r-T_2r=I\dfrac{a}{r} \). Sustituyendo (1) y operando,

\( T_1=\dfrac{m_pa}{4}+T_2=32,53\ N \)

Segunda ley aplicada a \( m_1 \):

\( \sum{F}=m_1a \)

\( F-T_1-\mu m_1g=m_1a \)

\( F=T_1+\mu m_1g+m_1a=42,37\ N \)

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Lo que me tratas de decir es que sería el momento de inercia de un disco, cierto?

No, no, imagina cualquier figura geométrica, para hallar su momento de inercia tienes que hacer una integral sobre su volumen de la distancia de los puntos hasta el eje de giro, bien todo eso es un poco complicado para ciertas figuras, y se recurre a dar el momento de inercia en función su radio de giro, que sería la distancia a la cual colocarías toda la masa de la polea  sobre un anillo cuyo radio es igual al radio de giro, para que la figura y ese anillo tengan el mismo momento de Inercia, un anillo de espesor infinitesimal tiene momento d inercia \( I=mR^2 \) de donde

\( I_{fugura}=mR_g^2 \)

así que si te dan el radio de giro de una figura compleja , puedes calcular el momento de inercia  fácilmente , multiplicando la masa por el radio de giro al cuadrado.

Así mismo quiero preguntarte, como interpreto las tensiones?

\( T = T1 = T2 \)?

No , las tensiones no son iguales de los dos lados de la polea, porque ahora esa polea tiene masa y acelera girando, tienes un equilibrio de momentos  \( M=(T_1-T_2)R=I\alpha=I\dfrac{a}{R} \)


Es  decir cuando tiras desde M1 tienes que hacer mas fuerza porque parte de ella se usa además para acelerar la polea, por eso estos problemas son distintos a aquellos donde las poleas no tenían masa, allí si las tensiones a ambos lados de la polea eran iguales en modulo.

El sistema me dice que el bloque asciende con una aceleración, esa aceleración es la misma para todo el sistema, es decir, para los bloques y para la ecuación \( a = αR \)?

Claro , los dos bloques tienen el módulo de la aceleración iguales (aunque pueden tener direcciones y sentidos diferente), en tanto la polea tiene la misma aceleración pero tangencial, es decir si divides por el "radio de la polea" tienes la velocidad angular.


Ojo el "radio de la polea" , no tiene porque ser igual al radio de giro (aunque pueden coincidir), una cosa es  la distancia entre el centro de la polea y la cuerda (el radio de la polea) y otra donde por construcción de la polea tiene aplicada la masa para acelerar \( R_g \) el radio de giro,

[David.O]

Buenos días,

Muchas gracias por sus ayudas. Me ha quedado un poco más claro sobre el radio del objeto y su radio de giro. Ya identifico donde estaba fallando.

Saludos,