[Berner]

Dar un ejemplo de un grupo $$\mathrm{G}$$ que posea un subgrupo normal $$\mathrm{H}$$ tal que $$\mathrm{H}$$ y $$\mathrm{G} / \mathrm{H}$$ sea cíclicos, pero $$\mathrm{G}$$ no lo sea.

[manooooh]

Hola

Dar un ejemplo de un grupo $$\mathrm{G}$$ que posea un subgrupo normal $$\mathrm{H}$$ tal que $$\mathrm{H}$$ y $$\mathrm{G} / \mathrm{H}$$ sea cíclicos, pero $$\mathrm{G}$$ no lo sea.

Considera por ejemplo el grupo \( (G=\{a,b,c,d,e,f\},*) \) dado por:

\(
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
*&a&b&c&d&e&f\\\hline
a&a&b&c&d&e&f\\\hline
b&b&a&e&f&c&d\\\hline
c&c&d&a&b&f&e\\\hline
d&d&c&f&e&a&b\\\hline
e&e&f&b&a&d&c\\\hline
f&f&e&d&c&b&a\\\hline
\end{array}
 \)

y el subgrupo \( (H,*) \) dado por \( H=\{x\in G\mid x*d=d*x,\;a\in G\} \).

Comprueba que \( H \) es cíclico, normal, \( G/H \) es cíclico, pero \( G \) no es cíclico.

Saludos

[geómetracat]

En notación más estándar, el ejemplo de manooooh consiste en tomar \[ G=S_3 \] (el grupo de permutaciones de tres elementos) y \[ H=A_3 = \langle (1 2 3) \rangle \], el subgrupo alternado.

Otro ejemplo aún más sencillo (abeliano) es tomar \[ G=\Bbb Z/2\Bbb Z \times \Bbb Z /2\Bbb Z \] y \[ H=\Bbb Z/2\Bbb Z \times 0 \].