Hola alguien podria señalarme donde se aplica la propiedad asociativa y conmutativa en esta demostracion.
3. DEMOSTRAR QUE Z(G) ESUN SUBGRUPO DE G.
$$
Z(G)=\{x \in G \mid x g=g x \forall g \in G\}
$$
Prueba: es de notar $$\forall g \in G, e g=g e$$, asi que e $$\in z(G)$$ por lo tanto $$z(G) \neq \emptyset$$
$$
-x ,y \in Z(G) \text { entoces } \forall g \in G \text {, }
$$
$$(x y) g$$
$$=x(y g)$$
$$=x(g y)$$
$$=(x g) y$$
$$=(g x) y$$
$$=g(x y)$$ asi que $$x y \in z(G)$$
$$-x \in Z(G)$$ entoces $$\forall g \in G$$,
$$
\begin{aligned}
x^{-1} g &=x^{-1}(g x) x^{-1} \\
&=x^{-1}(x g) x^{-1} \\
&=e g x^{-1} \\
&=g x^{-1}, \text { asi que } x^{-1} \in Z(G)
\end{aligned}
$$
Por lo tanto $$Z(G)$$ es subgrupo de $$G$$
