[FranciscoHolaQueTal]

Encontrar A y B para limite

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 Sea

\[ f(x)=\dfrac{2x^4}{x^3+1} \]

¿Es posible encontrar valores \( a \in \mathbb{R},\; b \in \mathbb{R} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)-ax-b}=0 \)  ?

Explicar cómo procede para decidir la respuesta

[feriva]

Encontrar A y B para limite

He copiado mal la cuenta, me he inventado un factor 3.

Implica

\( \dfrac{2x^{4}}{3x^{3}+1}=ax+b
  \)

Entonces

\( \dfrac{2x^{4}}{3x^{3}+1}-ax=b\Rightarrow
  \)

\( \dfrac{2x^{4}-3ax^{4}-ax}{3x^{3}+1}=b
  \)

con 3a=2

\( \dfrac{-\dfrac{2}{3}x}{3x^{3}+1}=b
  \)

Dividiendo por x cubo

\( \dfrac{-\dfrac{2}{3x^{2}}}{3+\dfrac{1}{x^{3}}}=\dfrac{0}{-3}=b
  \)

cuando x tiene a infinito, entonces \( a=\dfrac{2}{3}
  \) y \( b=0
  \).

*Si no me he equivocado.

Saludos.

[ingmarov]

Hola Francisco

Puedes calcular la derivada f'(x) cuando x tiende a infinito, debería ser la constante a.

Luego puedes hacer f(x)-ax    y calcular el límite cuando x tiende a infinito, debería ser la constante -b


Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Feriva tienes un error en el denominador es \( x^3+1 \) no \( 3x^3+1 \)

El resultado sería:
\(  \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) - (ax+b) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^4}{x^3+1} - (ax+b) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{1+\frac{1}{x^3}} - (ax+b) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x - (1+\frac{1}{x^3}) \cdot (ax+b)}{1+\frac{1}{x^3}}   \) luego \( a = 2 \) y \(  b = 0  \).

Una igualdad que se cumple y resuelve bastante fácil el problema es:
\( \dfrac{2x^4}{x^3+1} = \dfrac{2x}{1+\frac{1}{x^3}} = 2x \cdot (1-\dfrac{1}{1+x^3}) = 2x - \dfrac{2x}{1+x^3}  \)

[feriva]

Feriva tienes un error en el denominador es \( x^3+1 \) no \( 3x^3+1 \)

Ah, sí, había copiado mal los números. Muchas gracias, Juan Pablo.

Saludos.