[Quema]

En los ejercicios de programación lineal donde se debe determinar las cantidades a producir en el cual cada producto tiene un costo fijo (costo de arranque) se suele utilizar una variable auxiliar binaria y se define la restricción \( x_1\leq{}5y_1 \) donde 5 es la capacidad máxima de producción del producto 1. Se dice que si \( y_1=0 \) entonces necesariamente no se producirá el producto 1, y si \( y_1=1 \) entonces la restricción opera en la capacidad máxima del producto 1, que en este caso es 5. Mi duda está en que en éste último caso no implica que \( x_1=0 \) lo cual no tendría mucho sentido, es decir incurrir en costos fijos siendo el óptimo la no producción de ese producto.

[Richard R Richard]

 La variable x representa el nivel de producción de la unidad de negocio, para montar esta unidad y llegar a producir el primer producto debes cubrir los costos fijos iniciales(inversiones en inmuebles y maquinaria no prorrateados, permisos, impuestos, tasas, contratos, etc).  luego el costo es


\( C(x)=C_0+xC_v \)


donde \( C_v \) es el costo variable de la unidad productiva


y dependiendo de lo que te propongas minimizar costo o maximizar beneficio, puede ser que el x de equilibrio sea nulo, es decir es mejor para la empresa no producir el producto directamente, ya que la empresa gana menos o tiene mas gastos si produce una unidad adicional,  o a veces además sucede que la proyección de ventas a futuro no garantiza cubrir los costos totales de producción.

[Quema]

En realidad los ejercicios dicen algo así, supongamos que tenemos que decidir el nível de producción de dos productos con ganancias digamos, 10 y 20, producir el producto 1 tiene un costo fijo de 100 y el segundo un costo fijo de 150. La demanda potencial del producto 1 es 1000 y del 2 2000.

Entonces se busca maximizar \( Z=10x_1+20x_2-100y_1-150y_2 \) con las restricciones \( x_1\leq{}1000y_1 \), \( x_2\leq{}2000y_2 \) siendo \( y_i \) variables binarias y las \( x_i \) no negativas.
Se razona de esta forma, la desigualdad  \( x_1\leq{}1000y_1 \) implica que si \( y_1=1 \) entonces \( x_i\leq{}1000 \) pero eso no asegura que \( x_1>0 \) no tendría sentido que \( y_1=1 \) y el óptimo sea no producir ese producto. No deberíamos agregar alguna restricción que evite este caso. Es decir que si \( y_1=1 \) entonces \( x_1>0. \)

[Richard R Richard]

En realidad los ejercicios dicen algo así, supongamos que tenemos que decidir el nível de producción de dos productos con ganancias digamos, 10 y 20, producir el producto 1 tiene un costo fijo de 100 y el segundo un costo fijo de 150. La demanda potencial del producto 1 es 1000 y del 2 2000.

Entonces se busca maximizar \( Z=10x_1+20x_2-100y_1-150y_2 \) con las restricciones \( x_1\leq{}1000y_1 \), \( x_2\leq{}2000y_2 \) siendo \( y_i \) variables binarias y las \( x_i \) no negativas.
Se razona de esta forma, la desigualdad  \( x_1\leq{}1000y_1 \) implica que si \( y_1=1 \) entonces \( x_i\leq{}1000 \) pero eso no asegura que \( x_1>0 \) no tendría sentido que \( y_1=1 \) y el óptimo sea no producir ese producto. No deberíamos agregar alguna restricción que evite este caso. Es decir que si \( y_1=1 \) entonces \( x_1>0. \)

Disculpa Quema pero los costos fijos, son independientes de la cantidad producida,  Así que no puede suceder que en la funcion objetivo a maximizar acompañen a la variable cantidad, tu sabes que hasta 1000 unidades del producto x tu costo es fijo y vale un determinado costo unitario por el máximo de productividad de la empresa fabricando ese producto es decir \( CF_1=100\cdot 1000 \) y \( CF_2=150 \cdot 2000 \) son valores independientes de x
modifiquemos la ganancia unitaria para que el problema tenga sentido requieres 10000u de 1 para cubrir el costo fijo  multipliquemos la ganancia por 10 a   100 y 200 c/u entonces  \( Z=100x_1+200x_2-CF_1-CF_2 \)


Sin mas restricciones es obvio producir escoger producir solo el producto 2 porque si bien tiene un costo fijo mayor produce el doble de ganancia por unidad producida, fijate que para cubrir el costo fijo debes producir 1000 unidades de 1  y sales hecho  ...y con   el producto 2 con 750 unidades vendida cubres el costo fijo , y sin producir el producto 1 arribas al mismo beneficio 100000 cuando vendas todo lo que puede producir la empresa del producto 2. 
Si por alguna razón no cubres el 100% de tu producción de producto 1 tu beneficio será menor con independencia de lo que pase con el 2  alcances o no el máximo de produccion.

[Quema]

Me expresé mal, en realidad no es un costo fijo es un costo de lanzamiento. Mi crítica es a la desigualdad de la forma \( x_i\leq{}Dy_i \) pues podría darse el caso que \( y_i=1 \) y \( x_i=0 \) es decir, se lanza el producto con esos costos de lanzamiento, pero el óptimo de producción da cero.