Hola. ¡Como están! ¡Soy nueva en esta página, espero que puedan ayudarme! Me dan un ejercicio
Sea un operador lineal \( T\in \mathbb{R}^2 \) tal que
\( \displaystyle{
[T]=A=\begin{pmatrix}{2}&{1}\\{0}&{2}\end{pmatrix}
} \)
La consigna me dice que pruebe que \( W_1=\langle (1,0) \rangle \) es \( T \)-invariante lo cual lo probé y es así. Y la segunda consigna me dice que pruebe que no existe un subespacio \( W_2\subset \mathbb{R}^2 \) que sea \( T \)-invariante y que además \( \mathbb{R}^2=W_1+W_2 \).
Gracias!
Moderación: corregido el \( \LaTeX \) y la ortografía.
Puedes tomar \( W_2=\mathbb{R}^2 \), entonces tendrías una solución. Aunque imagino que se refiere a un subespacio invariante propio. Entonces, si existiese tal subespacio \( W_2 \) éste debería ser de dimensión uno, es decir que \( W_2=\langle (a,b) \rangle \) para algún \( (a,b)\in \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \). Pero eso significaría que \( (a,b) \) sea un vector propio de \( T \) ya que \( T(a,b)\in W_2 \) si y solo si \( T(a,b)=\lambda (a,b) \) para algún \( \lambda \in \mathbb{R} \). Además debe darse el caso de que \( W_1\cap W_2=\{(0,0)\} \), ya que si no fuese así entonces \( \dim(W_1+W_2)=1 \).
Por tanto deducimos que tal \( W_2 \) existiría si y solo si \( T \) tiene dos vectores propios linealmente independientes, \( (1,0) \) y \( (a,b) \), lo cual a su vez implicaría que \( T \) sería diagonalizable. Te queda por tanto demostrar que no existe tal vector \( (a,b) \), linealmente independiente de \( (1,0) \), que sea también vector propio de \( T \).
