[R.Niedmann]

Que tal grupo. Quisiera si alguien puede explicarme como se resuelve este tipo de ejercicios. De antemano muchisimas gracias!

Al dividir un polinomio \( p(x) \) separadamente por \( x-1 \) y \( x-2 \) se obtiene como resto \( 5 \) y \( 3 \) respectivamente. Calcule el resto que se produce al dividir \( p(x) \) por \( (x-1)(x-2) \)

[Abdulai]

Si  \( p(x) = (x-1)q_1(x) + r_1=5 \;\;\longrightarrow\;\; p(1)=r_1=5 \)
y lo mismo para \( r_2 \)

Entonces con \( p(x) = (x-1)(x-2)q(x) + (ax+b) \;\;\longrightarrow\;\; p(1) = a+b = 5 \)  y  \( p(2) = 2a+b = 3 \)

Resolviendo el sistemita:  \( a=-2\;,\; b=7 \)

\( \therefore\quad r_{12}=-2x+7 \)

[R.Niedmann]

Si  \( p(x) = (x-1)q_1(x) + r_1=5 \;\;\longrightarrow\;\; p(1)=r_1=5 \)
y lo mismo para \( r_2 \)

Entonces con \( p(x) = (x-1)(x-2)q(x) + (ax+b) \;\;\longrightarrow\;\; p(1) = a+b = 5 \)  y  \( p(2) = 2a+b = 3 \)

Resolviendo el sistemita:  \( a=-2\;,\; b=7 \)

\( \therefore\quad r_{12}=-2x+7 \)

Muchas gracias. Me queda muy claro. Sin embargo me sigue una duda. Si en vez de tener dos terminos \( (x-1)(x-2) \) hubiese tenido 3 terminos lineales, el resto \( (ax+b) \) hubiese tenido que ser un termino cuadratico \( (ax^2 +bx +c) \)  correcto?

[Abdulai]

Correcto, el resto es un polinomio de un grado menos que el que divide.