[petras]

Sea \( A = [ a_{ij} ] \) una matriz cuadrada de orden \( 2 \) tal que \( det (A - I) = 5 \), donde \( I \) representa la matriz identidad de orden \(  \)2.

Analiza las proposiciones y escribe (V) para verdadero(s) y (F) para falso(s).

I-( ) \( det(A^2-2A+1)=25 \)

II-( ) Si \( a_{12} = a_{21} \) entonces \( det(A) = 4 + a_{11} + a_{22} \)

III-( ) Si \( a_{11} = a_{22} = 0 \) y \( a_{12} = -a_{21} \) entonces \( det(A) = 6 \)
(R:V-V-F)

I-
Puedo decir eso  \( Det(A-I)^2= Det(A^2-2AI+I^2)=Det(A^2-2A+I) \)

II-
\( Det(A-I) = \underbrace{(a_{11}a_{22})}-a_{11}-a_{22}+1 \underbrace{- a_{12}a_{21}}=5\\
Det(A)-(a_{11}+a_{22})=4 \implies Det(A) = 4+a_{11}+a_{22} \)
¿Habría algún problema si a12 fuera diferente de a21?

III-
\( Det(A) = 4+a_{11}+a_{22}\implies Det(A) = 4=0 + a_{12}^2\\
\therefore  \)
¿Habría algún problema si \( a_{12} \) fuera diferente de \( -a_{21} \)?
Mensaje corregido desde la administración.

[delmar]

Hola

Las respuestas que has dado son correctas. Respecto a la interrogante que sucede si no se impone la restricción \( a_{12}=a_{21} \) haciendo el análisis, utilizando propiedades básicas de los determinantes :



\( det (A-I)=det \begin{pmatrix}{a_{11}-1}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}-1}\end{pmatrix}=det\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}-1}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{-1}&{a_{12}}\\{0}&{a_{22}-1}\end{pmatrix} \)

Continuando aplicando la aditividad de columnas se tiene :

\( det (A-I)=det\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{a_{11}}&{0}\\{a_{21}}&{-1}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{-1}&{a_{12}}\\{0}&{a_{22}}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix} \)

Operando :

\( det (A-I)=5=det (A)-a_{11}-a_{22}+1\Rightarrow{det(A)=4+a_{11}+a_{22}} \)

El resultado es genérico

Saludos

[petras]

Hola

Las respuestas que has dado son correctas. Respecto a la interrogante que sucede si no se impone la restricción \( a_{12}=a_{21} \) haciendo el análisis, utilizando propiedades básicas de los determinantes :



\( det (A-I)=det \begin{pmatrix}{a_{11}-1}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}-1}\end{pmatrix}=det\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}-1}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{-1}&{a_{12}}\\{0}&{a_{22}-1}\end{pmatrix} \)

Continuando aplicando la aditividad de columnas se tiene :

\( det (A-I)=det\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{a_{11}}&{0}\\{a_{21}}&{-1}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{-1}&{a_{12}}\\{0}&{a_{22}}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix} \)

Operando :

\( det (A-I)=5=det (A)-a_{11}-a_{22}+1\Rightarrow{det(A)=4+a_{11}+a_{22}} \)

El resultado es genérico

Saludos

Gracias por la explicación.

Saludos!