[beginnerweb]

Buenas tengo un problemilla no pudo resolver las siguientes identidades lógicas, algún truquillo a parte de saberme los axiomas y las leyes?:

Verifique las siguientes identidades lógicas utilizando las leyes del álgebra binaria. Indique, en cada paso algebraico, las leyes aplicadas. Compruebe los resultados obtenidos mediante tablas de verdad.

a) \( \overline{a\cdot b+b\cdot c}\cdot \bar c+b=b+\bar c \)

Gracias de antemano 

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tengo un problemilla no pudo resolver las siguientes identidades lógicas, algún truquillo a parte de saberme los axiomas y las leyes?:

Verifique las siguientes identidades lógicas utilizando las leyes del álgebra binaria. Indique, en cada paso algebraico, las leyes aplicadas. Compruebe los resultados obtenidos mediante tablas de verdad.

a) \( \overline{a\cdot b+b\cdot c}\cdot \bar c+b=b+\bar c \)

Gracias de antemano 

Pregunta por cada apartado en un hilo distinto y no uses imágenes: copia la fórmula.

Realmente este tipo de simplificaciones puede ser un poco pesado. La primera (grosso modo):

\( \overline{a\cdot b+b\cdot c}\cdot \bar c+b \)
\( \overline{(a+c)\cdot b}\cdot \bar c+b \)
\( (\overline{(a+c)}+ \bar{b})\cdot \bar{c}+b \)
\( (\bar a\cdot \bar c+ \bar b)\cdot \bar c+b \)
\( \bar a\cdot \bar c\cdot \bar c+ \bar b\cdot \bar c+ b \)
\( \bar a\cdot \bar c+ \bar b\cdot \bar c+ b \)
\( \bar a\cdot \bar c+ \bar b\cdot \bar c+ b\cdot (1+\bar c) \)
\( \bar a\cdot \bar c+ \bar b\cdot \bar c+ b +\bar b\cdot \bar c) \)
\( (\bar a+\bar b+b)\cdot \bar c+b \)
\( (\bar a+1)\cdot \bar c+b \)
\( 1\cdot \bar c+b \)
\( \bar c+b \).

Detallar que se ha usado en cada paso... me da una pereza terrible...

Saludos.

[beginnerweb]

pucha, beno pero esta era la mas picante la que realmente quería saber, ta muy dificil el latex u.u

c) \[ \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C}+(\overline{A\cdot C}\oplus C)=1 \]

[Luis Fuentes]

Hola

pucha, beno pero esta era la mas picante la que realmente quería saber, ta muy dificil el latex u.u

c) \[ \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C}+(\overline{A\cdot C}\oplus C)=1 \]

El LaTeX te lo he corregido yo. Sería así:

c) [tex]\overline{\overline{A\cdot B}\oplus C}+(\overline{A\cdot C}\oplus C)=1[/tex]

Ahora, por favor, corrige la ortografía:

- Las oraciones empiezan en mayúscula.
- Las palabras se escriben enteras.
- Tildes...

No estoy muy seguro de que notación estás usando. ¿La operación \( \oplus \) cuál es?.

Saludos.

[Abdulai]

No estoy muy seguro de que notación estás usando. ¿La operación \( \oplus \) cuál es?.

Es el correspondiente a la disyunción exclusiva.  (OR-Exclusiva , XOR, ^).

c) \[ \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C}+(\overline{A\cdot C}\oplus C)=1 \]

Tenés que aplicar:
(1) Leyes de De Morgan
(2) \( x\oplus y  = \overline{x}\cdot y+x\cdot\overline{y} \)
(3) \( \overline{x\oplus y}  = x\cdot y+\overline{x}\cdot\overline{y} \)
(4) \( x+\overline{x}\cdot y=x+y \)


Entonces:
\( \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C} = \overline{A\cdot B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} = (\overline{A}+\overline{B})\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} = \overline{A}\cdot C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C}  \)
\( \overline{A\cdot C}\oplus C = \overline{A\cdot C}\cdot \overline{C} + A\cdot C \cdot C = (\overline{A}+\overline{C}) \cdot \overline{C}+ A\cdot C \cdot C = \overline{A}\cdot \overline{C} + \overline{C} + A\cdot C = A+\overline{C} \)

Al sumar, aplicando la identidad (4) llegás a que siempre es verdad.

[hméndez]

No estoy muy seguro de que notación estás usando. ¿La operación \( \oplus \) cuál es?.

Es el correspondiente a la disyunción exclusiva.  (OR-Exclusiva , XOR, ^).

c) \[ \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C}+(\overline{A\cdot C}\oplus C)=1 \]

Tenés que aplicar:
(1) Leyes de De Morgan
(2) \( x\oplus y  = \overline{x}\cdot y+x\cdot\overline{y} \)
(3) \( \overline{x\oplus y}  = x\cdot y+\overline{x}\cdot\overline{y} \)
(4) \( x+\overline{x}\cdot y=x+y \)


Entonces:
\( \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C} = \overline{A\cdot B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} = (\overline{A}+\overline{B})\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} = \overline{A}\cdot C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C}  \)
\( \overline{A\cdot C}\oplus C = \overline{A\cdot C}\cdot \overline{C} + A\cdot C \cdot C = (\overline{A}+\overline{C}) \cdot \overline{C}+ A\cdot C \cdot C = \overline{A}\cdot \overline{C} + \overline{C} + A\cdot C = A+\overline{C} \)

Al sumar, aplicando la identidad (4) llegás a que siempre es verdad.

Una sutil variación,  sin recurrir a la identidad (4) y aprovechando tus resultados:


\( \overline{\overline{A\cdot B}\oplus C} = \overline{A\cdot B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} = (\overline{A}+\overline{B})\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} = \overline{A}\cdot C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C}  \)
\( \overline{A\cdot C}\oplus C = \overline{A\cdot C}\cdot \overline{C} + A\cdot C \cdot C = (\overline{A}+\overline{C}) \cdot \overline{C}+ A\cdot C \cdot C = \overline{A}\cdot \overline{C} + \overline{C} + A\cdot C = (\overline{A}+1)\cdot \overline{C}+A\cdot C=\overline{C}+A\cdot C \)

sumando los últimos resultados:

\( ( \overline{A}\cdot C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C})+(\overline{C}+A\cdot C)  \)

\( \overline{C}+A\cdot C+\overline{A}\cdot C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} \)

\( \overline{C}+(A+\overline{A})\cdot C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} \)

\( \overline{C}+(1)\cdot C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} \)

\( \overline{C}+C+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} \)

\( 1+\overline{B}\cdot C + A\cdot B \cdot \overline{C} \)

\( 1 \)

Saludos.