Hola
Hay un pequeño error tipográfico en el enunciado es \( R_n[x]\rightarrow{R_n[x]} \) es decir se considera una transformación lineal \( T:R_n[x]\rightarrow{R_n[x]} \), para la encontrar la matriz respecto a la base canónica para T, aplicar la definición de matriz, la columna j serán las componentes (respecto a la base canónica) del transformado del elemento j de la base canónica. \( j=1,2,..,n+1 \) por ejemplo el elemento 1 de la base canónica es el polinomio \( P_1(x)=1 \), el elemento 2 será el polinomio \( P_2(x)=x \) de esta manera \( P_3(x)=x^2, ..., P_n(x)=x^{n-1}, P_{n+1}(x)=x^n \) hay n+1 elementos en la base canónica. Por el enunciado los transformados de todos ellos constituye un mismo polinomio, lo expresamos \( T(P_1(x))=T(P_2(x))=...=T(P_{n})=T(P_{n+1}(x))=1+x+x^2+...x^n=(1)P_1(x)+(1)P_2(x)+(1)P_3(x)+...+(1)P_{n}+(1)P_{n+1}(x) \) se observa que las componentes de todos los transformados de la base canónica, son todos unos en consecuencia :
\( J_{n+1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ 1 & 1 &\ldots & 1 \end{pmatrix} \) es una matriz cuadrada de orden n+1
b) Hay que demostrar que \( J_{n+1}\begin{pmatrix}1\\1\\ \vdots\\1\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}1\\1\\ \vdots\\1\end{pmatrix} \) simplemente efectuar la parte izquierda de la ecuación y ponerla en la forma de la parte derecha
c) Los elementos del Núcleo tienen componentes \( c_1,c_2,...,c_n,c_{n+1} \) tal que :
\( J_{n+1}\begin{pmatrix}c_1\\{c_2}\\ \vdots\\{c_{n+1}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\ \vdots\\0\end{pmatrix} \) de ahí se encuentra una relación entre una de las constantes por ejemplo \( c_{n+1} \) y las demás, en esas circunstancias se puede poner los vectores del núcleo como una combinación lineal de ciertos vectores linealmente independientes, estos serán la base y su número la dimensión del núcleo o Ker
Saludos
