No sé qué resultados puedes usar. Lo más rápido, si conoces la teoría suficiente, es usar que los puntos de inflexión de una curva algebraica plana lisa \( C \) son los puntos de intersección de \( C \) con su curva Hessiana \( H_C \) (que es la curva que viene dada por el determinante de la matriz Hessiana del polinomio que define a \( C \)). Si la curva \[ C \] tiene grado \[ n>2 \], la curva \[ H_C \] tiene grado \[ 3(n-2)\geq 3 \], por lo que ambas curvas se cortan (de hecho, por el teorema de Bézout se cortan en \( 3n(n-2) \) puntos, contando multiplicidades), luego la curva tiene puntos de inflexión (y de hecho, como mucho \( 3n(n-2) \) puntos de inflexión).
Si la curva es singular no es necesariamente cierto. Un ejemplo trivial viene dado por una curva reducible del tipo \( X^3=0 \), donde no puede tener puntos de inflexión porque no tiene puntos regulares.
A mí me parece que la afirmación no es cierta \( f(x)=x^4+x^2 \) no tiene ningún valor de x donde \( f''(x)=0 \) no sé si es contra ejemplo suficiente.
Aquí el concepto de punto de inflexión es más general que el de punto de inflexión de una función. Además, estamos trabajando sobre el plano proyectivo. En este caso, si consideras el grafo de la función como una curva proyectiva, corresponde a la curva \( YZ^3-X^4-X^2Z^2=0 \). La recta \( Z=0 \) es tangente a esa curva y su multiplicidad de intersección es \( 4 \), por tanto el punto \( (0:1:0) \) es un punto de inflexión de esa curva.
