[TimOver]

¡Muy buenas a tod@s! He encontrado varios ejercicios de campo magnético que no consigo resolver, os lo planteo uno por uno.

1. Supongamos un campo \( \vec{B} \) que da lugar a una espira circular de radio a, circulando por ella una corriente I en los puntos de su eje. Ahora se colocará otra espira idéntica en todas sus características a una distancia d de la espira inicial. Se toma como origen el punto medio entre las espiras. Calcule el campo en los puntos de los ejes para d=a.




En este ejercicio sé que por simetría solo habrá componente del campo en el eje x, y que hay que calcular el campo para cada espira y luego sumarlos obteniendo el campo total. Sin embargo, no doy con las ecuaciones de cada uno de estos campos.




3. Se tiene una espira como la que se muestra en la figura (tramos semicirculares y rectas perpendiculares). Se observa que circula por la espira una intensidad I. Determinar el campo en el centro O.




En este caso no consigo plantear el ejercicio correctamente. Tampoco logro identificar en el dibujo el vector \( \vec{dl} \) y el vector \( \vec{r} \) para la Ley de Biot-Savart.


Os paso también las soluciones de cada ejercicio como orientación:

Ejercicio 1.

Ejercicio 3.



Un saludo y muchas gracias de antemano!

[delmar]

Hola

Es conveniente que en cada hilo haya un solo problema, para que no haya confusión

Te ayudo con el 1)

En realidad hay un pequeño error en el enunciado en vez de "que da lugar a una espira circular" ha de decir "que da lugar una espira circular" y en la respuesta también en lugar de z es x, has analizado bien el problema, para un punto genérico P  del eje X, por ejemplo \( x\vec{i} \) se ha de obtener el campo magnético \( \vec{B}=\vec{B_I}+\vec{B_D} \) es decir se ha de sumar los campos magnéticos creados por la espira izquierda y la espira derecha respectivamente y en efecto solo hay componente en la dirección del eje x

Determinar \( \vec{B_I} \)

Considerando el semieje Y positivo vertical hacia arriba, el semieje Z positivo es perpendicular a la pantalla y es saliente. El campo creado por la carga móvil de un elemento pequeño de la espira asociado a un ángulo \( \theta \) será :

\( d\vec{B}=(\displaystyle\frac{\mu_0}{4 \pi})\displaystyle\frac{dq \ \vec{v} \ X \ \vec{r}}{r^3} \)

Donde :

\( \vec{r} \) es la posición del punto P respecto a la posición de la carga móvil del elemento \( (-(a/2)\vec{i}+a cos \theta \vec{k}+a sen \theta \vec{j}) \) verifica, en consecuencia : \( \vec{r}=(x+(a/2))\vec{i}-a cos \theta \vec{k}-a sen \theta \vec{j})\Rightarrow{r=((x+(a/2))^2+a^2})^{1/2} \)

La velocidad de la carga móvil del elemento será : \( \vec{v}=a sen \theta \ \theta' \vec{k}+a cos \theta \  \theta' \vec{j} \)

En consecuencia operando se tiene que el campo magnético (considerando la simetría) tiene estra expresión :

\( d\vec{B}=(\displaystyle\frac{\mu_0}{4 \pi}) \ \displaystyle\frac{-a^2 \  dq \ \theta' }{((x+(a/2))^2+a^2)^{3/2}}\vec{i}=(\displaystyle\frac{\mu_0}{4 \pi}) \ \displaystyle\frac{a^2 \  I \ d\theta }{((x+(a/2))^2+a^2)^{3/2}}\vec{i} \) donde I es la intensidad de la corriente, obviamente \( \theta'<0 \)

El campo creado por toda la espira será el integral en consecuencia :

\( \vec{B_I}=\displaystyle\int_{0}^{2 \pi}(\displaystyle\frac{\mu_0}{4 \pi}) \ \displaystyle\frac{a^2 \  I \ d\theta }{((x+(a/2))^2+a^2)^{3/2}}=(\displaystyle\frac{\mu_0}{2}) \ \displaystyle\frac{a^2 \  I  }{((x+(a/2))^2+a^2)^{3/2}} \)

El campo creado por la espira derecha el único cambio será el denominador es decir  :

\( \vec{B_D}=\displaystyle\int_{0}^{2 \pi}(\displaystyle\frac{\mu_0}{4 \pi}) \ \displaystyle\frac{a^2 \  I \ d\theta }{((x-(a/2))^2+a^2)^{3/2}}=(\displaystyle\frac{\mu_0}{2}) \ \displaystyle\frac{a^2 \  I  }{((x-(a/2))^2+a^2)^{3/2}} \)

La respuesta será la suma


Saludos

[Abdulai]

El primero es una bobina de Helmholtz, su utilidad en laboratorio es que en el centro se consigue un campo bastante uniforme.

[JCB]

Hola a tod@s.

Contribuyo al tercer ejercicio. Según la ley de Biot y Savart, \( \vec{B}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3} \)

El vector \( \vec{r} \) tiene origen en la cola de \( d\vec{l} \) y final en el punto donde queremos calcular el campo magnético.

Para el segmento recto vertical, como \( d\vec{l} \) forma un ángulo con \( \vec{r} \) de \( \pi\ rad \), su producto vectorial es \( 0 \). Para el segmento recto horizontal, \( d\vec{l} \) forma un ángulo con \( \vec{r} \) de \( 0\ rad \), siendo también \( 0 \) su producto vectorial.

Para el segmento de cuarto de circunferencia inferior, \( d\vec{l} \) forma un ángulo con \( \vec{r} \) de \( \dfrac{\pi}{2}\ rad \).

\( d\vec{l}\times\vec{r}=rdl\hat k \), con lo que

\( \vec{B_1}=\dfrac{\mu_0I}{8a}\hat k \)

De forma parecida, para el segmento de cuarto de circunferencia superior, \( d\vec{l}\times\vec{r}=-rdl\hat k \), con lo que

\( \vec{B_2}=-\dfrac{\mu_0I}{8b}\hat k \)

\( \vec{B_1}+\vec{B_2}=\dfrac{\mu_0I(b-a)}{8ab}\hat k \)

Saludos cordiales,
JCB.

[TimOver]

Muchas gracias por vuestras respuestas! Y perdonad, voy a modificar este post y preguntar de forma individual el ejercicio que falta. Saludos!!