[donlugones]

Sean A,B,C y D matrices de orden \( n \) tal que \( C = A + B \) y \( D = A - B \). Calcular \( A^2 - B^2 \) en función de C y D

Entiendo que no es \( C . D \) ni \( D . C \) por que el producto de matrices no es conmutativo.

[manooooh]

Hola

Sean A,B,C y D matrices de orden \( n \) tal que \( C = A + B \) y \( D = A - B \). Calcular \( A^2 - B^2 \) en función de C y D

Entiendo que no es \( C . D \) ni \( D . C \) por que el producto de matrices no es conmutativo.

Tu pensamiento es correcto. Se puede buscar un contraejemplo para el cual \( CD\neq DC \).

Te conviene reescribir las ecuaciones primero en función de \( C,D \). Para eso, por ejemplo una opción es despejar \( A \) de la primera: \( A=C-B \) (3) y reemplazarlo en la segunda: \( D=(C-B)-B\implies2B=C-D\implies B=(C-D)/2 \) (4), luego con esta ecuación volvemos a (3): \( A=C-(C-D)/2\implies\dots\implies A=(C+D)/2 \) (5).

Es decir \( A=(C+D)/2 \) y \( B=(C-D)/2 \). Ahora reemplaza esto en \( A^2-B^2 \) y concluye. No uses diferencia de cuadrados, ¡el producto matricial no es conmutativo!

Respuesta

\( A^2-B^2=CD \).

[cerrar]

Saludos

[geómetracat]

Tu pensamiento es correcto. Se puede buscar un contraejemplo para el cual \( CD\neq DC \).

Te conviene reescribir las ecuaciones primero en función de \( C,D \). Para eso, por ejemplo una opción es despejar \( A \) de la primera: \( A=C-B \) (3) y reemplazarlo en la segunda: \( D=(C-B)-B\implies2B=C-D\implies B=(C-D)/2 \) (4), luego con esta ecuación volvemos a (3): \( A=C-(C-D)/2\implies\dots\implies A=(C+D)/2 \) (5).

Es decir \( A=(C+D)/2 \) y \( B=(C-D)/2 \). Ahora reemplaza esto en \( A^2-B^2 \) y concluye. No uses diferencia de cuadrados, ¡el producto matricial no es conmutativo!

Respuesta

\( A^2-B^2=CD \).

[cerrar]

Está todo el razonamiento bien, pero la respuesta no.
\[ CD = (A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2 \], y \[ A^2-AB+BA-B^2 \neq A^2-B^2 \] en general.

[feriva]

Sean A,B,C y D matrices de orden \( n \) tal que \( C = A + B \) y \( D = A - B \). Calcular \( A^2 - B^2 \) en función de C y D

Si no me he equivocado, puedes hacerlo así

\( CD=(A+B)(A-B)=A^{2}-AB+BA-B^{2}
  \)

\( DC=(A-B)(A+B)=A^{2}+AB-BA-B^{2}
  \)

Ahora, sumando y restando \(  B^{2}
  \) a CD y DC respectivamente y sumando después ambos resultados, sale

\( CD+B^{2}=A^{2}-AB+BA
  \)

\( DC-B^{2}=A^{2}+AB-BA-2B^{2}
  \)

de donde

\( CD+B^{2}+DC-B^{2}=CD+DC=2A^{2}-2B^{2}
  \)

finalmente

\( A^{2}-B^{2}=\dfrac{1}{2}(CD+DC)
  \)

Qué tontería, no hace falta eso, simplemente sumando las dos primeras igualdades ya está. Estaba pensando el producto de B cuadrado, pero es suma y es con signo negativo; se me había ido la cabeza y por eso lo he hecho así

Saludos.