En el primer punto, cuando hablas de "derivada", si el polinomio es un elemento del cuerpo de los complejos, ¿se puede hablar del concepto de "derivada" tan sueltamente como en \( \Bbb R \)? Porque a priori el enunciado no aclara a qué cuerpo pertenece.
Sí, claro. La derivada para funciones complejas funciona exactamente igual que para funciones reales. La puedes definir igual como un límite. Luego es verdad que la teoría de funciones complejas derivables es muy distinta que la de funciones reales derivables, pero la definición y las propiedades básicas de las derivadas funcionan exactamente igual.
Aparte de esto, se puede hablar del concepto de derivada de un polinomio sobre un anillo arbitrario, definiéndola de manera puramente formal: impones que \[ (X^n)' = nX^{n-1} \] y luego extiendes a polinomios usando linealidad.
Con esto, puedes demostrar que se cumplen todas las propiedades típicas de la derivada en este contexto.
