\( f(s)=\dfrac{mb^t}{(1+\frac{t-7}{10})} \)
Tomando logaritmos:
\( \ln(f(s))=t\ln(mb) - \ln\left(1+\frac{t-7}{10}\right )=t\ln(mb) - \ln\left(\frac{t+3}{10}\right )=t\ln(mb) - \ln(t+3) + \ln(10) \)
Tenemos entonces:
\( t-\ln(t+3)=\dfrac{\ln(f(s))}{\ln(mb)}-\ln(10) \)
Llamando \( \lambda=\dfrac{\ln(f(s))}{\ln(mb)}-\ln(10) \)
\( t-\ln(t+3)=\lambda \)
\( t+3-\ln(t+3)=\lambda + 3 \)
\( -(t+3)+\ln(t+3)=-\lambda - 3 \)
\( -(t+3)+\ln(t+3)=-\lambda - 3 \)
\( e^{-(t+3)}(t+3)=e^{-\lambda-3} \)
\( -(t+3)e^{-(t+3)}=-e^{-\lambda-3} \)
En esta ecuación no se puede despejar t en términos de funciones elementales, solamente podemos despejar t si introducimos la función
W de Lambert. Con esto resultaria:
\( -t-3=W(-e^{-\lambda-3}) \)
\( \boxed{t=-W(-e^{-\lambda-3})-3} \)
Puedes encontrar así valores aproximados para t utilizando algún programa de calculo simbólico, o alguna web como por ejemplo WolframAlpha.
