[Eren]

En el libro de Algebra de Hungerford, la demostración de la siguiente proposición se deja como ejercicio al lector:

Sea $$G$$ un semigrupo. Entonces $$G$$ es un grupo si y sólo si para cualesquiera $$a,b\in G$$ las ecuaciones $$ax = b$$ y $$ya = b$$ tienen soluciones en $$G$$.

Me parece que basta con que una de las ecuaciones tenga solución: como $$ax = a$$ tiene solución, el elemento neutro derecho $$e$$ existe en $$G$$. Pero como también podemos resolver $$ax = e$$, vemos que todo elemento de $$G$$ es invertible por la derecha. Por una proposición previa en ese libro, $$e$$ es un elemento neutro por ambos lados y el inverso derecho de $$a$$ es también un inverso izquierdo. Con eso basta para concluir que $$G$$ es un grupo.

Sin duda que algo anda mal con mi razonamiento, pero no logro detectar qué es. Agradecería que me pudieran aclarar esta cuestión.

[Rubén Maguregui]

Hola, Eren.

Efectivamente, hay un problema con tu argumento. La solución de $$ax = a$$ te da un elemento neutro derecho para $$a$$, pero ese elemento no tiene por qué ser el neutro derecho para el resto de los elementos de $$G$$. Dicho de otro modo, si $$b$$ es otro elemento de $$G$$, la solución de $$bx = b$$ existe pero no tiene por qué ser la misma que la de $$ax = a$$. Es fácil pensar en un ejemplo de un semigrupo que no es un grupo en el que esto ocurre: basta definir $$xy = y$$ para cualesquiera $$x,y\in G$$. Es inmediato que con esta operación $$G$$ es un semigrupo donde se verifica que $$ax = b$$ tiene solución ($$x = b$$) en $$G$$. Para el caso en que $$G$$ consiste de 3 elementos, la tabla de multiplicar de $$G$$ sería la siguiente:

\begin{array}{c|ccc}
  \cdot & a & b & c \\
  \hline
  a     & a & b & c \\
  b     & a & b & c \\
  c     & a & b & c \\
\end{array}

Entonces, sí que tienes que usar el hecho de que también la ecuación $$ya = b$$ tiene solución en $$G$$ para demostrar que éste último es un grupo. Los detalles de cómo hacerlo te los dejo en el spoiler siguiente.

Spoiler

Sea $$1_a$$ la solución de $$ax = a$$. Entonces $$1_a$$ es el elemento neutro derecho de $$G$$, pues si $$b$$ es cualquier elemento de $$G$$, existe $$y\in G$$ tal que $$ya = b$$ y por tanto $$b = ya = y(a 1_a) = (ya)1_a = b\cdot 1_a$$. El resto ya sabes cómo hacerlo.

[cerrar]

[Eren]

¡Pero claro!

Gracias por la explicación, Rubén.

Saludos.