Hola
Podrían decirme si están bien planteado. Agradezco toda la ayuda que me dan <3
Gracias a vos por refrescar mi memoria con estos temas. :3
Voy a pasar la matemática que escribiste usando LaTeX, debés hacerlo vos también. Podés ver cómo lo hice citando mi mensaje y viendo el contenido.
Veamos:
En todas te faltó analizar qué pasa cuando hay cambio de rama, es decir en los puntos \( x=a \). Podés escribir \( \geq \) en vez de \( > \) (revisar cada ejercicio):
Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes que no contengan valores absolutos:
a) \( |x|+ |x-1| \)
\( x<0 \to |x| + |x-1| = -(x) + [-(x - 1)]= -x -x + 1 =-2x + 1 \)
\( 0<x<1 \to |x| + |x-1| = (x) + [-(x-1)] = x - x + 1 = 1 \)
\( x>1 \to |x| + |x - 1| = (x) + (x-1) = x+x-1 = 2x - 1 \)
\(
|x| + |x-1|=
\begin{cases}
-2x + 1&\text{si \(x<0\)}\\
1&\text{si \(0<x<1\)}\\
2x - 1&\text{si \(x>1\)}
\end{cases}
\)
Bien.
h) \( |x - 1 - x^2| \)
\( x<0 \to |x - 1 - x^2| = -(-x^2 + x - 1) = x^2 - x + 1 \)
\( x>0 \to|x - 1 - x^2|= (x - 1 - x^2) = -x^2 + x - 1 \)
\(
|x - 1 - x^2|=
\begin{cases}
x^2 - x + 1&\text{si \(x<0\)}\\
-x^2 + x \color{red}- 1&\text{si \(x>0\)}\qquad\color{red}\text{(Pequeño error que cometiste al transcribirlo)}
\end{cases}
\)
Observá que si \( f(x)=-x^2+x-1 \), entonces por ejemplo \( f(1)=-(1^2)+1-1=-1 \) que no coincide con lo que decís en la 2da rama de la función por partes.
Similarmente a lo que te comentaron en otro hilo:
Denominando \( f(x)=x^2+x+1 \) observa que es una función definida en todo el eje real y al no existir raíces reales sabemos que no corta al eje X, en consecuencia o todos sus valores son positivos o son negativos, observa que para x=0 se tiene f(0)=1>0 en consecuencia todos los valores de f(x) son positivos, en consecuencia \( \left\{{x\in{R} : \ x^2+x+1\geq{0}}\right\}=R \)
Fijate que \( f(x)=-x^2+x-1<0 \) para todo \( x\in\Bbb{R} \), por lo que al tomar el valor absoluto, \( |f(x)| \), todos los valores invierten su signo. Gráficamente, la parábola "se da vuelta" y queda en el semieje positivo de las \( y \).
g) \( |x^2 - 3x -4| \)
\( x>0 \to |x^2 - 3x -4| = (x^2 - 3x - 4) = x^2 -3x -4 \)
\( x<0 \to |x^2 - 3x -4|= -(x^2 -3x -4) = -x^2 + 3x + 4 \)
\(
|x^2-3x-4|=
\begin{cases}
x^2-3x-4&\text{si \(x>0\)}\\
-x^2+3x+4&\text{si \(x<0\)}
\end{cases}
\)
Es lo mismo que el ejercicio anterior: algunas imágenes te quedan negativas cuando deben ser positivas (por ser valor absoluto).
Considerá \( f(x)=x^2-3x-4 \), hallá las raíces \( x_0,x_1 \) con \( x_0<x_1 \) (son enteras, por suerte!) y separá en 3 casos: cuando \( x<x_0 \), \( x_0<x<x_1 \) y \( x>x_1 \).
Espero que te sirva. Cualquier cosa volvés a preguntar.
Saludos
