[Maria_Sanz]

Buenas a todos. He adjuntado una captura de pantalla del ejercicio que necesito resolver. A ver si alguien puede darme una solución.

Sean \( A,B\in M_{2\times 2}(\Bbb R) \) tales que \( (A-B)^{-1}=A^{-1}-B^{-1} \). Demuestra que:

\( det(A)=det(B)=det(A-B) \)

Esto no es una quimera: existen matrices que verifican la condición del problema. Encuentra dos matrices \( A,B\in M_{2\times 2}(\Bbb R) \)  tales que \( (A-B)^{-1}=A^{-1}-B^{-1} \).

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas a todos. He adjuntado una captura de pantalla del ejercicio que necesito resolver. A ver si alguien puede darme una solución.

Sean \( A,B\in M_{2\times 2}(\Bbb R) \) tales que \( (A-B)^{-1}=A^{-1}-B^{-1} \). Demuestra que:

\( det(A)=det(B)=det(A-B) \)

Esto no es una quimera: existen matrices que verifican la condición del problema. Encuentra dos matrices \( A,B\in M_{2\times 2}(\Bbb R) \)  tales que \( (A-B)^{-1}=A^{-1}-B^{-1} \).

Muchas gracias.

De \( (A-B)^{-1}=A^{-1}-B^{-1} \) mutliplicando a ambos lados por \( (A-B) \) y simplificando llegas a:

\( B^{-1}A+A^{-1}B=Id \)

Llamando \( X=B^{-1}A \) te queda:

\( X+X^{-1}=Id \)

Multiplicando por \( X \):

\( X^2-X+Id=0 \)

Si sabes teoría de polinomio mínimo y polinomio característico de ahí se deduce que este último es \( p(t)=t^2-t+1 \) y por tanto \( det(X)=1 \).

Por tanto \( det(B^{-1}A)=1 \) y así \( det(A)=det(B) \).

Intenta continuar desde aquí...

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Continuando: de \( (A-B)^{-1}=A^{-1}-B^{-1} \) llamando \( C=A-B \), equivale a:

\( C^{-1}=A^{-1}-(A-C)^{-1}\quad \Leftrightarrow{}\quad (A-C)^{-1}=A^{-1}-C^{-1} \)

 y con el mismo razonamiento que indiqué en el mensaje anterior se deduce que \( det(A)=det(C)=det(A-B). \)

 En cuanto a los ejemplos puedes escoger una matriz que cumpla:

\(  X^2-X+Id=0 \)

 Como \( (X^2-X+1)(X+1)=X^3+1 \), se puede tomar una matriz tal que \( X^3=-Id \), por ejemplo:

\( X=\begin{pmatrix}cos(\pi/3)&-sin(\pi/3)\\sin(\pi/3)&cos(\pi/3)\\\end{pmatrix} \)

 y entonces \( B=Id \) y \( A=BX=X \).

 O por ejemplo:
 
\(  A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\\end{pmatrix} \)  \(  B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix} \)

Saludos.

[Maria_Sanz]

Perfecto muchas gracias.