[Florruiz]

Hola a todos. Pueden ayudarme con estos ejercicios, publiqué los dos en el mismo sitio porque uno depende de otro.
No sé como hacerlo. Me pueden ayudar a resolverlo por favor. He aplicado el método de Gram Smith otras veces y es fácil solo que un poco tedioso, pero mi problema es que no entiendo este ejercicio. En clase nos colocaron ejercicios de otro tipo, y cuando este dice utilizando el siguiente producto escalar de verdad que no se como plantearlos. Necesito de ustedes por favor.

Dada la base \(    \ { ( 1,1,0), \ (4,-2,0) , \ (1,5,5)} \) de  \(  R^3.   \)  construir una base ortonormal de  \(  R^3   \) a partir de los vectores dados y utilizando el siguiente producto escalar :
Si   \( u= \ ( u_1, u_2,u_3)     \) y  \(   v = \ ( v_1,v_2,v_3)   \) entonces  \(  u * v= \ (u_1+u_2) \ ( v_1+v_2)+ \ ( u_1+u_3) \ ( v_1+v_3) + ( u_2+u_3) (v_2+v_3)   \)

2) aplicar el método de Gram Smith a la base canónica de  \(   R^3  \) para construir una base ortogonal usando el siguiente producto escalar:
 \(  \ < u,v> =   \ (u_1+u_2) \ ( v_1+v_2)+ \ ( u_1+u_3) \ ( v_1+v_3) + ( u_2+u_3) (v_2+v_3)   \)

[delmar]

Hola

El proceso es un poco tedioso, detallo para la parte 2

La base canónica es : \( b_1=(1,0,0), \ b_2=(0,1,0), \ b_3=(0,0,1) \), denominando \( w_1,w_2,w_3 \) los vectores de la base ortogonal se tiene :

\( w_1=b_1 \)

\( w_2=b_2-\displaystyle\frac{<b_2,w_1>}{<w_1,w_1>}w_1 \)

\( w_3=b_3-\displaystyle\frac{<b_3,w_1>}{<w_1,w_1>}w_1-\displaystyle\frac{<b_3,w_2>}{<w_2,w_2>}w_2 \)

Sencillamente utilizar el producto interno definido :

\( w_1=(1,0,0) \)

\( w_2=(0,1,0)-\displaystyle\frac{<(0,1,0),(1,0,0)>}{<(1,0,0),(1,0,0)>}(1,0,0)=(0,1,0)-\displaystyle\frac{(0+1)(1+0)+(0+0)(1+0)+(1+0)(0+0)}{(1+0)(1+0)+(1+0)(1+0)+(0+0)(0+0)}(1,0,0) \)

\( w_2=(0,1,0)-\displaystyle\frac{1}{2}(1,0,0)=(-1/2,1,0) \)

Intenta el \( w_2 \) de una manera semejante para el punto 1


Saludos

[Florruiz]

Hola Delmar, gracias por responder, me falta calcular el \(  w_3 \) cierto? No entiendo lo que me dices para el punto 1, estoy demasiado confundida porque de como si estuviera resolviendo el mismo ejercicio Delmar. Ayudame por favor amiga.

[delmar]

Si te falta calcular \( w_3 \), respecto al punto 1) simplemente \( b_1=(1,1,0),  \ b_2=(4,-2,0), \ b_3=(1,1,5) \)

Saludos

[Florruiz]

Perdona mi incapacidad Del mar pero no entiendo de donde sacas las operaciones de la derecha cuando calculas w2, por favor necesito de tu ayuda para poder terminarlos, he resuelto el método otras veces sin ningún problema. Pero es la condición del problema lo que me ha puesto de cabeza Delmar

[Florruiz]

Por favor ruego me ayudes a terminarlos, quiero saber como resolver estos ejercicios. Si en el examen me llegan a colocar algo como esto no sé que voy hacer.

[Luis Fuentes]

Hola

Perdona mi incapacidad Del mar pero no entiendo de donde sacas las operaciones de la derecha cuando calculas w2, por favor necesito de tu ayuda para poder terminarlos, he resuelto el método otras veces sin ningún problema. Pero es la condición del problema lo que me ha puesto de cabeza Delmar

La única novedad de este ejercicio frente a los más típicos es que el producto escalar que manejas NO es el usual; viene dado por la fórmula:

Si   \( u= \ ( u_1, u_2,u_3)     \) y  \(   v = \ ( v_1,v_2,v_3)   \) entonces  \(  u * v= \ (u_1+u_2) \ ( v_1+v_2)+ \ ( u_1+u_3) \ ( v_1+v_3) + ( u_2+u_3) (v_2+v_3)   \)

Entonces en la expresión:

\( w_2=(0,1,0)-\displaystyle\frac{\color{red}<(0,1,0),(1,0,0)>\color{black}}{<(1,0,0),(1,0,0)>}(1,0,0)=(0,1,0)-\displaystyle\frac{\color{red}(0+1)(1+0)+(0+0)(1+0)+(1+0)(0+0)\color{black}}{(1+0)(1+0)+(1+0)(1+0)+(0+0)(0+0)}(1,0,0) \)

Tanto en el numerador como en el denominador delmar, está aplicando esa fórmula de ese producto escalar particular:

 \(  u * v= \ (u_1+u_2) \ ( v_1+v_2)+ \ ( u_1+u_3) \ ( v_1+v_3) + ( u_2+u_3) (v_2+v_3)   \)

donde para \( <(0,1,0),(1,0,0)> \) tienes \( u_1=0, u_2=1, u_3=0 \) y \( v_1=1, v_2=0, v_3=0. \)

Saludos.