[TimOver]

Hola buenas, estoy empezando a estudiar el campo eléctrico y me he encontrado con este ejercicio.

 Tenemos dos cilindros centrados en el eje \( z \) tal y como se muestra en la figura, que tienen longitud infinita y en ellos la carga está distribuida uniformemente. Ambos están hechos de material aislante. El primer cilindro tiene radio \( r_a=0.5m \) y el segundo (que es una corteza) tiene radio \( r_n=0.8m \) y \( r_c=0.93m \). La densidad de carga columétrica es \( \rho_{V_a}=0.076C/m^3 \) y \( \rho_{V_b}=0.0411C/m^3 \)

a) Calcular el campo eléctrico en un punto \( P \) a\( 0.32m \) del eje \( z \) y el otro punto \( Q \) a \( 0.88m \) de dicho eje.

b) Calcular el trabajo que ha de realizarse para desplazar un electrón de un punto a otro.



He aplicado el teorema de Gauss en ambos casos, pero creo que no lo he realizado adecuadamente. El módulo del campo eléctrico en el punto P me sale, sin sustituir: \( E=\frac{\rho_{Va}r_{a}^{2}}{2R_{p}\varepsilon_{0}}  \)
y en el punto Q: \( E=\frac{\rho_{Va}r_{a}^{2}+\rho_{Vb}r_{b}^{2}}{2R_{Q}\varepsilon_{0}} \)
Al sustituir los valores no obtengo la solución indicada.

Por otra parte, tengo bastantes dudas de como calcular el trabajo en este problema, también agradecería que me echáseis un cable aquí.

Muchas gracias de antemano!
Mensaje corregido desde la administración.

[JCB]

Hola a tod@s.

El punto \( P \) con \( r_P=0,32\ m \), está situado en el interior del cilindro macizo. Considero una superficie cilíndrica gaussiana de radio \( r_P=0,32\ m \) y longitud \( l \).

\( \displaystyle\oint_{S}\vec{E}d\vec{S}=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0} \)

\( E_P2\pi r_Pl=\dfrac{\rho_{Va}\pi r_P^2l}{\epsilon_0} \)

\( E_P=\dfrac{\rho_{Va}r_P}{2\epsilon_0} \)

El punto \( Q \) con \( r_Q=0,88\ m \), está situado en el interior de la corteza cilíndrica, por lo que debo considerar toda la carga contenida en el cilindro macizo de radio \( r_a \) más la carga contenida en la corteza cilíndrica, entre \( r_b \) y \( r_Q \).

\( E_Q2\pi r_Ql=\dfrac{\rho_{Va}\pi r_a^2l+\rho_{Vb}\pi(r_Q^2-r_b^2)l}{\epsilon_0} \)

\( E_Q=\dfrac{\rho_{Va}r_a^2+\rho_{Vb}(r_Q^2-r_b^2)}{2\epsilon_0r_Q} \)

Para el trabajo entre \( P \) y \( Q \), aplicaría \( W=-\displaystyle\int_{r_P}^{r_Q}q\vec{E}d\vec{l} \), debiendo considerar varios tramos: de \( r_P \) a \( r_a \), de \( r_a \) a \( r_b \) y de \( r_b \) a \( r_Q \).

A ver si se animan otros participantes.

Saludos cordiales,
JCB.

[robinlambada]

Hola TimOver , bienvenido al foro.

Hola buenas, estoy empezando a estudiar el campo eléctrico y me he encontrado con este ejercicio.

 Tenemos dos cilindros centrados en el eje \( z \) tal y como se muestra en la figura, que tienen longitud infinita y en ellos la carga está distribuida uniformemente. Ambos están hechos de material aislante. El primer cilindro tiene radio \( r_a=0.5m \) y el segundo (que es una corteza) tiene radio \( r_n=0.8m \) y \( r_c=0.93m \). La densidad de carga columétrica es \( \rho_{V_a}=0.076C/m^3 \) y \( \rho_{V_b}=0.0411C/m^3 \)

a) Calcular el campo eléctrico en un punto \( P \) a\( 0.32m \) del eje \( z \) y el otro punto \( Q \) a \( 0.88m \) de dicho eje.

b) Calcular el trabajo que ha de realizarse para desplazar un electrón de un punto a otro.



He aplicado el teorema de Gauss en ambos casos, pero creo que no lo he realizado adecuadamente. El módulo del campo eléctrico en el punto P me sale, sin sustituir: \( E=\frac{\rho_{Va}r_{a}^{2}}{2R_{p}\varepsilon_{0}}  \)
y en el punto Q: \( E=\frac{\rho_{Va}r_{a}^{2}+\rho_{Vb}r_{b}^{2}}{2R_{Q}\varepsilon_{0}} \)
Al sustituir los valores no obtengo la solución indicada.

Por otra parte, tengo bastantes dudas de como calcular el trabajo en este problema, también agradecería que me echáseis un cable aquí.

Muchas gracias de antemano!

Con respecto al campo eléctrico,  ocurre que as aplicado mal el teorema de Gauss.

Para el primer supuesto con \( r_p=0'32\, m \) el punto P donde debes hallar el campo se encuentra en el interior del primer cilindro de radio 0'5 m.

Por ello debes usar para el volumen y superficie encerrada como radio solo \( r_p=0'32\, m \) y nunca \( r_a=0'5 \)

Para el caso b, \( r_q=0'88 \), el error es parecido la carga total esta mal sumada
respecto al primer cilindro debes usar  el radio \( r_a \) para hallar su volumen además y añadir la carga que encierra la superficie de Gauss en el segunda "corteza" (tubo o anillo cilíndrico ) que va desde el radio \( r_b \) hasta \( r_q \) menor que su grosor inicial.

Es decir el volumen del anillo exterior encerrado por la superficie de Gauss es \( V_{ext}=\pi(r^2_q-r^2_a)h \)

Con \( h \) la altura del anillo cilíndrico  , que se cancela con la altura del tubo cilíndrico usado para calcular el flujo del campo


Saludos

P.D.: Se me adelanto JCB

[TimOver]

Me ha servido, ya me he dado cuenta de mi fallo ¡Muchas gracias a ambos! Sólo una cosa, ¿podéis indicar profundizando un poco más y paso a paso la fórmula del trabajo? Es que estoy empezando con esto de la física y me cuesta bastante aplicar adecuadamente las fórmulas jajaja. He sustituido y me ha dado de nuevo un resultado erróneo.

Gracias por la paciencia.

Saludos!

[JCB]

Hola a tod@s.

El campo eléctrico entre \( r=0 \) y \( r_a \) es \( E=\dfrac{\rho_{Va}r}{2\epsilon_0} \), luego el trabajo \( W_{Pa}=-\displaystyle\int_{r_P}^{r_a}q\dfrac{\rho_{Va}r}{2\epsilon_0}dr \)

El campo eléctrico entre \( r_a \) y \( r_b \) es \( E=\dfrac{\rho_{Va}r_a^2}{2\epsilon_0r} \), luego el trabajo \( W_{ab}=-\displaystyle\int_{r_a}^{r_b}q\dfrac{\rho_{Va}r_a^2}{2\epsilon_0r}dr \)

El campo eléctrico entre \( r_b \) y \( r_c \) es \( E=\dfrac{\rho_{Va}r_a^2+\rho_{Vb}(r^2-r_b^2)}{2\epsilon_0r} \), luego el trabajo \( W_{bQ}=-\displaystyle\int_{r_b}^{r_Q}q\dfrac{\rho_{Va}r_a^2+\rho_{Vb}(r^2-r_b^2)}{2\epsilon_0r}dr \)

Nota: el trabajo expresado de esta forma, es el trabajo que debe realizar un agente externo en contra del campo eléctrico.

Saludos cordiales,
JCB.

[TimOver]

¡Muchas gracias! Todo claro.