[antoñitoñitoñito]

A ver si hay suerte porque estoy liado. Ecuación diofántica de la forma \( ax+by=mcd(a,b) \). En los ejemplos que he visto se hace el Algoritmo de Euclides entre \( a \) y \( b \). Hasta ahí bien. El tema es que en los ejemplos que he visto "a" entre "b" te da algo de resto pero estoy con un caso donde al dividir \( a/b \) ya te da de resto cero y no sé dónde está mi fallo o cómo seguir. Tengo \( 6x+2y=2 \). Te queda que al hacer euclides el resto da cero y se tiene que cero... o sea \( 0=6x(1) +2x(-3) \) Ese cero es lo que no entiendo porque si al hacer euclides a la primera ya te da de resto cero entonces la ecuación ya no me queda con la forma \( ax+by=mcd(a,b) \) y no sé seguir.

Muchas gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

[feriva]

A ver si hay suerte porque estoy liado. Ecuación diofántica de la forma ax+by=mcd(a,b). En los ejemplos que he visto se hace el Algoritmo de Euclides entre a y b. Hasta ahí bien. El tema es que en los ejemplos que he visto "a" entre "b" te da algo de resto pero estoy con un caso donde al dividir a/b ya te da de resto cero y no sé dónde está mi fallo o cómo seguir. Tengo 6x+2y=2. Te queda que al hacer euclides el resto da cero y se tiene que cero... o sea 0=6x(1) +2x(-3) Ese cero es lo que no entiendo porque si al hacer euclides a la primera ya te da de resto cero entonces la ecuación ya no me queda con la forma ax+by=mcd(a,b) y no sé seguir.

 Muchas gracias.

Divide entre 2 toda la ecuación y ya tienes mcd=1

\( 3x+y=1
  \)

¿Sigue siendo muy fácil al aplicar Euclides? Pues mejor para ti:


Si tienes en general \( kax+kby=kd
  \), pues las soluciones van a ser las mismas que en la identidad de Bézout tal cual, \( ax+by=d
  \). Pues es una ecuación lineal como otra cualquiera, sólo que buscas las soluciones enteras nada más.

Entonces, si una vez que cancelas k, te queda esta ecuación \( ax+by=d
  \) con b=1, donde conoces “d” y “a”, pues la solución particular sale simplemente dando un valor a x. Si en la tuya haces x=1, pues y=-2. En este caso no necesitas ni pensar en el algoritmo, ya en otros problemas te hartarás de dividir para sacar los restos, no te preocupes.

Y la solución general será, con esa solución particular.

\( x=1+n\cdot\dfrac{1}{1}
  \); \( y=-2-n\cdot\dfrac{3}{1}
  \).

Saludos.

[antoñitoñitoñito]

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

A ver si hay suerte porque estoy liado. Ecuación diofántica de la forma \( ax+by=mcd(a,b) \). En los ejemplos que he visto se hace el Algoritmo de Euclides entre \( a \) y \( b \). Hasta ahí bien. El tema es que en los ejemplos que he visto "a" entre "b" te da algo de resto pero estoy con un caso donde al dividir \( a/b \) ya te da de resto cero y no sé dónde está mi fallo o cómo seguir. Tengo \( 6x+2y=2 \). Te queda que al hacer euclides el resto da cero y se tiene que cero... o sea \( 0=6x(1) +2x(-3) \) Ese cero es lo que no entiendo porque si al hacer euclides a la primera ya te da de resto cero entonces la ecuación ya no me queda con la forma \( ax+by=mcd(a,b) \) y no sé seguir.

En realidad si \( a/b \) da resto cero es que \( mcd(a,b)=b \). Entonces la solución trivial a \( ax+by=b \) es \( x=0 \) e \( y=1 \).

Saludos.