Hola
Bienvenido al foro.
Sean \( P, Q, R \in \mathbb{R} \) tales que \( P_1 < R_1 < Q_1 \) y \( P_2 < R_2 < Q_2 \). Entonces prueba que el área del triangulo con vértices \( P, Q \) y \( R \) es igual a:
\( \displaystyle\frac{1}{2}(P_1Q_2 + Q_1R_2 + R_1P_2 - P_1R_2 - Q_1P_2 - R_1Q_2) \).
Se supone que te refieres al triángulo de vértices \( P=(P_1,P_2) \), \( Q=(Q_1,Q_2) \), \( R=(R_1,R_2) \).
Hay una fórmula que relaciona el área del paralelogramo que determinan dos vectores con el determinante de su matriz de coordenadas. De ahí saldría directamente la fórmula que quieres probar. Pero sin usar eso:
Observa el dibujo.
El área pedida es del triángulo rectángulo \( PQA \) más la del trapecio \( QABR \), menos el área del triángulo rectángulo \( PBR \). Pero:
\( A(PQA)=\dfrac{1}{2}(Q_1-P_1)(Q_2-P_2) \)
\( A(PBR)=\dfrac{1}{2}(R_1-P_1)(R_2-P_2) \)
\( A(QABR)=\dfrac{1}{2}(R_1-Q_1)(Q_2+R_2-2P_2) \)
Termina...
Saludos.
